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"[xm]Br=WfoRrB:::wk;nyyI;G:;:j::>:B>N:F:nyyyyy]::yyyyyy::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::fyyyyy yBnYnyyyYE:G:I:K:M:O:Q:S:UJ:n;v;;JBB:]:_:a:c:e:g:i:k:m:o:q:s:u:w:y:;[: F>N>V>^>f>n>v>>?F?N?V?^?f?n?v?>`:B:];_;a;c;e;g;i;k;m;o;q;s;u;wK:vA>BR<:T><::;d>=BMuXZAX:A:;R:B:F:AlqfG[maNF O=;::::::::_J;@J@Wlj^HMMufF;J:::::::N=?R:= :AZ:vYxY:B::::::^:;J\\MB<:=:jRj^^HEmpnCfGEM:>::::::n=?R:yyyyyy:>:<:::: ::?:EJ:>:F:;JyKy;vY::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::F:wyyAbR<:Tn=B:[dJ_UWaETX:: ::LyVDurJ:::::::::::=:;::::::::::F:D:<:::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::JZMB?TMgG[>Z:JUJNj@KbuHJ:<:jysy::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Z:vy yuy::::::::::::::::::::::::::Z:>:;:vmYxY>:jysy:::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::Z:vYxI::::::::::::::::::::::::::;B:xCyvayA::;Z:jysy>:<:: ryvY::::::::::::::::::::::::::::::::::Z:B: 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Z:vYxI:::::::::::B:;J:rivQ:::::::::::<:y^Y<:::J:rivQ::::::::::<:y>>:xC y>:::::::Z::xCB:>:xIyA::::::::::::Z:vYxI:::::::::::;B:xEy?:::::::::::Z :jIsa::::Z:jYsi:::::::Z:J::ravM::::::::::<:ra:Z:J:ryvY::::::::::::Z:B:vQxE::::::::::::B:vMxC::::B:vQxE::::::B:>:xCy>:::::::: :::::::Z:jysy:::::::::::Z:vYxI:::::::::B:;jYsi::::::::::::::>:xCy>:::: >:<::rivQ:::<:;ZYlI;:::::::::::::::::;Z:jysy::::::::::Z:vYxI::::::::B: ;J:rivQ::::::::::::::J:ravM:::::::<:;:ZylYC:>:xCy>:::::::::::::::::::> :xIyA:::::::::Z:vYxI::::::::;B:xEy?:::::::::::::::>:xCy>::::::::Z:J:ra vM:::::::::::::::::::::<:yay=:::::::::Z:B:vQxE::::::::::: :::::B:vMxC::::::::::::::::::::::::::::::::;Z:jysy::::::::Z:vYxI:::::: ;B:<:y_y<:::::::::::::::::<:y^Y<::::::::::::::::::::::::::::::::J:ryvY ::::::::Z:B:vQxE:::::::::::::::::::;ZYlI;:::::::::::::::::: ::::::::::::::B:>:xIyA::::::Z:vYxI::::B:;jYsi::::::::::::::::::::Z:jIs a:::::::::::::::::::::::::::::::::Z:J:ryvY::::::Z:rivQ:::::: 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::::::::::::::::::::::::::::Z:jIsa::::::::::vyyE:yA;jYsi:::::Z:jysy::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::>:xCy>:::::::::vyyE:yA; jYsi:::::>:xIyA::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Z:jIs a:::::::::vyyE:yA;jYsi::::Z:jysy:::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::>:xCy>::::::::vyyE:yA;jYsi::::Z:jysy:::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::Z:jIsa::::::::vyyE:yA;jYsi::::>:xIyA:: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::>:xCy>:::::::vyyE:y A;jYsi:::Z:jysy::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Z :jIsa:::::::vyyE:yA;jYsi:::>:xIyA::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::>:xCy>::::::vyyE:yA;jYsi::Z:jysy:::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::Z:jIsa::::::vyyE:yA;jYsi::>:xIyA:: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::>:<:::::::yAyA; jYsi:Z:jysy::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::Z:vY>:;::Zymy;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::B:yay=::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::j:vC:;:::::::::N;?B:yyyxI:;Z::::::j;JDB:;::::::::::::vYxI:;Z:: ::::::::::::::::::yay=J:B:::::::::::::::::::jysy:>:<:::::::::::::::::: ::::::1:" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 270 13 " Introducci\363n" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Instrucciones" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 189 "En es ta pr\341ctica emplearemos Maple para trabajar con relaciones binarias en un conjunto. Como sabemos, una relaci\363n binaria en un conjunto \+ A es un subconjunto R del producto cartesiano AxA." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 392 " Las relaciones se puede n representar de distintas maneras: mediante la definici\363n, esto es , el par (A,R) formado por el conjunto A y la relaci\363n R subconjunt o del producto cartesiano AxA; mediante una gr\341fica en un plano coo rdenado (donde cada eje est\341 representando el conjunto A); mediante el grafo dirigido (A,R) asociado a la relaci\363n o mediante una matr iz de adyacencias de dicho grafo." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 278 "Cada una de estas representaciones tendr \341 ventajas e inconvenientes a la hora de analizar propiedades de la s relaciones. En esta pr\341ctica veremos c\363mo construir cada una d e estas representaciones de las relaciones y c\363mo estudiar ciertas \+ propiedades con dichas representaciones." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 271 29 " Representaci\363n de re laciones" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 224 "La primera de las representaciones de una relaci\363n que se ha c omentado en la introducci\363n es mediante una gr\341fica (lo que resu lta muy habitual cuando hablamos de funciones). Para esta representaci \363n usaremos la funci\363n plot." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Sea por ejemplo la relaci\363n:" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "restart; \nA:=\{a,b,c,d\}; R :=\{[a,a],[b,b],[c,c],[d,d],[a,b],[b,c],[a,c]\};" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 136 "Para representarla media nte el comando plot, necesitamos valores num\351ricos por lo tanto hac emos la sustituci\363n de las letras por n\372meros" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "N:=subs(a=1,b=2,c=3,d=4,R); " }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Ahora mediante plo t podemos representar la secuencia de los pares de N" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "plot([op(N )],x=0..4,y=0..4,style=point);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Si qu eremos trabajar con la representaci\363n por el grafo dirigido asociad o, sencillamente cargamos el paquete que permite trabajar con los graf os:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "with(networks):" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "G:=new():" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "addvertex(A ,G);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "addedge(R,G);" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 171 "Recordam os que al pintar el grafo dirigido, maple no representa ni lazos, ni d irecciones en las aristas, por lo que la representaci\363n gr\341fica \+ de G no ser\341 muy ilustrativa:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "draw(G);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "Tampoco la matriz de \+ adyacencias de G recoge toda esta informaci\363n." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "adjacency(G) ;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 188 "Po r tanto debemos dise\361ar un procedimiento que compute la matriz de a dyacencias del digrafo G. Cargamos primero el paquete linalg, que cont iene ciertos comandos para trabajar con matrices." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 319 "Como la matriz de adyacencias depen de de una ordenaci\363n en el conjunto de los v\351rtices (y para evit ar ciertos problemas en c\363mo maple convierte un conjunto en una lis ta) el procedimiento se aplicar\341 sobre un par formado por una lista y la relaci\363n. Obs\351rvese que estamos declarando el tipo de dato s en el procedimiento." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "Ma trizRelacion:=proc(D::list,R::set([anything,anything]))" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " local i,j,L;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " L:=[];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " for i from 1 to no ps(D) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " for j from 1 to nops (D) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 " if member([[op(D)][i ],[op(D)][j]],R) then" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 " L:= [op(L),1] else L:=[op(L),0];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " \+ fi;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " evalm(matr ix(nops(D),nops(D),L));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "M:=MatrizRelacion([a,b,c,d],R);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "O bservamos que si se toma el conjunto :" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "B:=\{2,a,3\}:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Y hace mos una lista con los elementos del conjunto:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "[op(B)];" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 219 "La lis ta no ha respetado el orden con que nosotros definimos el conjunto B y la matriz del digrafo puede llevarnos a confusi\363n, por eso hemos e legido que el procedimiento funcione sobre listas en vez de sobre conj untos." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 "Finalmente supongamos que tenemos un conjunto A ordenado y la mat riz que representa una relaci\363n en A con esa ordenaci\363n entonces podemos recuperar la relaci\363n mediante el siguiente procedimiento: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "RelacionMatriz:=proc(M::matrix(square))" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 2 " " }{TEXT -1 0 "" }{MPLTEXT 1 0 12 "local i,j,R;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " R:=\{\};" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 " for i from 1 to coldim(M) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " for j from 1 to coldim(M) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 " if(M[i,j]=1) then R:=R union \{[i,j]\};" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "RETURN(R);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "S:= RelacionMatriz(M);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 207 "Observamos que no aparece la relaci\363n tal y como la definimos sino sobre el conjunto \{1,2,3,4\} que es biyectivo con A mediante la aplicaci\363n que ha e stablecido la propia ordenaci\363n. Para recuperar entonces R" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "subs(1=a,2=b,3=c,4=d,S);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 272 43 " Estudio de l as propiedades de una relaci\363n" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Propiedad reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 157 "Para comproba r si una relaci\363n R definida sobre un conjunto A es reflexiva hay q ue verificar que cada par (a,a) (con a un elemento de A) es un element o de R." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Si miramos la " }{TEXT 256 22 "representaci\363n gr\341fica" }{TEXT 260 1 " " }{TEXT -1 134 "se trat a de verificar si toda la diagonal est\341 contenida en la gr\341fica, la gr\341fica p1 es lar\341fica de la diagonal cuya ecuaci\363n es y= x:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "p1:=plot(x,x=0..4):" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "p2:=plot([op(N)],style=poi nt):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "plots[display](p1,p 2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Si vemos la relaci\363n por la de finici\363n, esto es, como un " }{TEXT 257 35 "subconjunto del product o cartesiano" }{TEXT -1 64 ", se trata de ver si la diagonal est\341 t otalmente contenida en R." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "Diagonal:=\{seq([[op(A)][i],[op(A)][i]],i=1..nops(A))\};" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Para comprobar la inclusi\363n tomamos el conjun to resultado de restar a la diagonal el conjunto R y debe ser el conj unto vac\355o:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Diagonal m inus R;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Como as\355 ocurre en efecto. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Para \+ ver esta propiedad sobre el" }{TEXT 258 6 " grafo" }{TEXT -1 246 " se \+ trata de comprobar si hay un lazo sobre cada v\351rtice. Como la gr \341fica que presenta maple del digrafo no representa los lazos, no ha y una manera de comprobar la propiedad reflexiva diferente de la conju ntista presentada en el p\341rrafo anterior." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "Para hacer el an\341lisis sobr e la matriz se trata de ver si la diagonal principal est\341 formada p or unos:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "M := matrix([[1, 1, 1, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 1]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "seq(M[i,i],i=1..nops(A));" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "No es dif\355cil dise \361ar un procedimiento que lo compruebe sobre una matriz:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 160 "Mre f:=proc(M::matrix)\nlocal j,S,r:\nS:=0:\nfor j from 1 to coldim(M)\ndo S:=S+M[j,j]: od:\nif S=coldim(M) then r:=\"reflexiva\": else r:=\"no \+ reflexiva\": \nfi:\nr; end: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "Mref(M);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "Mref(matri x(2,2,[1,0,0,0]));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Propiedad sim\351trica y antisim \351trica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Sobre la " }{TEXT 256 23 "rep resentaci\363n gr\341fica " }{TEXT -1 186 "se trata de observar si la \+ nube de puntos es sim\351trica con respecto a la diagonal del primer c uadrante, esto es, si (a,b) es un punto de la gr\341fica, tambi\351n l o es (b,a). Sea la relaci\363n:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "A:=\{1,2,3,4,5\}; R:=\{[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[4,4],[5,5]\}; " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "La representamos mediante una tabla." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "p1:=plot([op(R)] ,x=0..5,y=0..5,style=point):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "p2:=plot(x,x=0..5):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "plots[display](\{p1,p2\});" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Que es en efecto una gr\341fica sim\351trica. Para que sea " }{TEXT 265 13 " antisim\351trica" }{TEXT -1 116 " debe verificarse que el sim\351trico de cada punto de la nube que no est\351 sobre la diagonal no es un pu nto de la nube." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Para ver que la relaci\363n es sim\351trica mediante la d efinici\363n como " }{TEXT 257 35 "subconjunto del producto cartesiano " }{TEXT -1 126 " se trata de comprobar que el conjunto S formado por \+ los pares (b,a) donde (a,b) es un elemento de la relaci\363n es igual \+ que R." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "S:=\{seq([op(R)[i][2],op(R)[i][1]],i=1..nops(R))\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "R minus S; S minus R; " } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Por tanto se tiene la simetr\355a de la relaci\363n." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Para comprobar si es " }{TEXT 266 13 "antisim\351trica" } {TEXT -1 66 " el conjunto R intersecci\363n S debe estar contenido en \+ la diagonal." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "Diagonal:=\{seq([[op(A)][i],[op(A)][i]],i=1..nops( A))\}:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "(R intersect S) m inus Diagonal;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 106 "Como hay puntos de la intersecci\363n que no est\341n so bre la diagonal, la relaci\363n no puede ser antisim\351trica." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Sobre el \+ " }{TEXT 258 8 "digrafo " }{TEXT -1 26 "se tratar\355a de comprobar: \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 " a) para la propieda d " }{TEXT 267 11 "sim\351trica: " }{TEXT -1 126 "que cada par de v \351rtices distintos o no son adyacentes o est\341n unidos por un par \+ de aristas (cada una dirigida en un sentido);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 " b) para la propiedad " }{TEXT 268 14 "a ntisim\351trica " }{TEXT -1 91 "que cada par de v\351rtices distintos \+ o no son adyacentes o est\341n unidos por una \372nica arista." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 119 "Como el \+ gr\341fico de maple no presenta las direcciones de las aristas, no hay nada nuevo con respecto al p\341rrafo anterior" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Sobre la " }{TEXT 259 8 "m atriz, " }{TEXT -1 18 "para la propiedad " }{TEXT 269 10 "sim\351trica ," }{TEXT -1 50 " se trata de comprobar si es una matriz sim\351trica: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "M:=MatrizRelacion([1,2,3,4,5],R);" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "with(linalg): evalm(M-transpose(M));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Esto se pu ede escribir en un procedimiento:\n" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 236 "Msim:=proc(M::matrix)\nlocal N,S,i,j,r:\nN:=evalm(M- transpose(M)):\nS:=0:\nfor i from 1 to rowdim(M) while S=0 do\nfor j f rom 1 to rowdim(M) do\nif N[i,j]<>0 then S:=1: fi: od: od:\nif S=1 the n r:=\"no simetrica\" else r:=\"simetrica\" fi:\nr; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "Msim(M);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 28 "Msim(matrix(2,2,[1,0,1,0]));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Para la propiedad antisim\351trica se trata de comprobar que no hay ninguna entrada M[i,j]=M[j,i]=1 con i distinto de j." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 243 "Mantisim:=proc(M::matrix)\nlocal N,S,i,j,r:\nS:=0:\nfor i from 1 \+ to rowdim(M) while S=0 do\nfor j from 1 to rowdim(M) do\nif M[i,j]=1 a nd M[j,i]=1 and i<>j then S:=1: fi: od: od:\nif S=1 then r:=\"no antis imetrica\" else r:=\"antisimetrica\" fi:\nr; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "Mantisim(M);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Si tomamos la matriz de una relaci\363n antisim\351trica por ejemp lo:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "A:=matrix(4,4,[1,1,1, 1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "Mantisim(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 261 0 "" }{TEXT 262 20 "Propiedad transitiva" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "La " }{TEXT 263 22 "repr esentaci\363n gr\341fica" }{TEXT -1 67 " no aporta ning\372n m\351todo rese\361able para comprobar la transitividad." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Dise\361emos un procedimi ento para comprobar la propiedad transitiva en la " }{TEXT 264 22 "def inici\363n conjuntista" }{TEXT -1 335 ". Los m\351todos que se han pre sentado para la propiedad reflexiva y para la sim\351trica se pueden e scribir como un procedimiento que opere sobre relaciones y aporte una \+ respuesta afirmativa o negativa a la pregunta sobre si una relaci\363n verifica o no una propiedad. En el libro de referencia se pueden enco ntrar todos estos procedimientos." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Transitiva:=proc(A::list,R::set)" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 40 " local u,v,w; for u from 1 to nops(A) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " for v from 1 to nops(A) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " for w from 1 to nops(A) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 114 " if(member([A[u],A[v]],R) and member( [A[v],A[w]],R) and not member([A[u],A[w]],R)) then RETURN(false );" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 " fi;" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 8 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " od ;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " od; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " RETURN(true);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "A:=[a,b,c,d]; R:= \{[a,a],[a,b],[b,a],[b,c],[a,c]\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "Transitiva(A,R);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 179 "Pa ra preguntarnos sobre la transitividad de una relaci\363n mirando su m atriz, recordamos que dicha matriz A debe cumplir que las entradas no \+ nulas de A^2 son entradas no nulas de A." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 193 "Por tanto, para razonar sobre la \+ matriz ser\341 \372til un procedimiento que transforme una matriz M en otra matriz con un uno donde M tiene una entrada no nula y un 0 donde M tiene una entrada nula." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "Matrizdeunosyceros:=proc(M::matrix) " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " local i,j,Mat;" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 " Mat:=matrix(rowdim(M),coldim(M),0);" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 " for i from 1 to rowdim(M) do" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " for j from 1 to coldim(M) do" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 " if(M[i,j]<>0) then Mat[i,j]:=1; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "RETURN(eval(Mat));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "M:=matrix(3,3,[1,1,1,2,1,3,0,9,4]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "Matrizdeunosyceros(M) ;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Por tanto dada la matriz de una rel aci\363n:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "M:=matrix(3,3,[ 1,1,1,0,1,0,0,1,1]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Calculamos la ma triz de unos y ceros del cuadrado de M" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "Matrizdeunosyceros(evalm(M^2));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Como son iguales la relaci\363n es transitiva." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Podemos escribir un procedimiento:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 243 "Mtrans:=proc(M::matrix)\nlocal N,S ,i,j,r:\nN:=evalm(M^2):\nS:=0:\nfor i from 1 to rowdim(M) while S=0 do \nfor j from 1 to rowdim(M) do\nif N[i,j]<>0 and M[i,j]=0 then\nS:=1: fi: od: od:\nif S=1 then r:=\"no transitiva\" else r:=\"transitiva\": \nfi:r; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "Mtrans(M); " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 129 "Si tomamos la siguiente matr iz, cuyo cuadrado tiene entradas no nulas nuevas, el procedimiento deb e indicar que no es transitiva:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "A:=matrix(4,4,[1,1,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "Mtrans(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "evalm(A^2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Con, en efecto, entradas no nulas con respecto a A." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 273 10 " Clausuras" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 176 "Recordamos que la clausura reflexiva, sim\351trica o t ransitiva de una relaci\363n R en un conjunto A es la m\355nima relaci \363n que contiene a R y verifica la propiedad que se necesite. " }} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Clausura reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "Sea una relaci\363n (A,R) la clausura reflexiva es \+ por tanto el m\355nimo subconjunto de AxA que contiene a R y a la diag onal " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "\{(a,a): a elemento de A\}. Por \+ tanto se trata simplemente de la uni\363n de R y dicha diagonal." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "A:=\{a,s,d,f\}; R:=\{[a,s],[a,d],[d,d],[d,f],[s,f]\};" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "Diag onal:=\{seq([op(A)[i],op(A)[i]],i=1..nops(A))\};" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "La clausura es la uni\363 n:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "R union Diagonal;" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 245 "La matriz de la clausura reflexiva se co nstruye completando la diagonal de la matriz de la relaci\363n con un \+ uno en aquellos lugares en que la matriz tenga un cero. Es decir suman do la matriz identidad y luego computando la matriz de unos y ceros." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "Q:=MatrizRelacion([a,s,d,f ],R);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "I4:=diag(1,1,1,1); " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "Matrizdeunosyceros(evalm(Q+I4));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Clausura sim\351trica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 251 "Sea una relaci\363n (A,R) la clausura sim\351trica es por tanto el m \355nimo subconjunto de AxA que contiene a R y al conjunto sim\351tric o de R \{(b,a): donde (a,b) es un elemento de R\}. Por tanto se trata \+ simplemente de la uni\363n de R y dicho conjunto sim\351trico S" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "A:=\{a,s,d,f\}; R:=\{[a,s],[ a,d],[d,d],[d,f],[s,f]\};" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "S:=\{seq([op(R)[i][2] ,op(R)[i][1]],i=1..nops(R))\};" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "La clausura sim\351trica es simplemente h acer la uni\363n:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "R union S;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 114 "Sobre la matriz se trata de suma r la matriz con su transpuesta y computar la matriz de unos y ceros de dicha suma." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "Q:=MatrizRel acion([a,s,d,f],R);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "eval m(Q+transpose(Q));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "C:=Ma trizdeunosyceros(%);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Que es una matri z sim\351trica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "evalm(C-transpose(C));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Clausura transitiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 226 "S ea una relaci\363n (A,R) la clausura transitiva es por tanto el m\355n imo subconjunto de AxA que contiene a R y verifica la propiedad transi tiva.Vamos a centrarnos en los algoritmos que tienen como entrada la m atriz de la relaci\363n." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 323 "El primer algoritmo que presentamos en clase es e l que relaciona la transitividad con la conexi\363n, de modo que para \+ calcular la clausura transitiva de una relaci\363n de matriz M (de tam a\361o nxn) hay que tomar las sucesivas potencias de M hasta llegar a \+ la potencia n-\351sima, sumarlas todas y calcular su matriz de unos y \+ ceros." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "A:=\{a,s,d,f,g\}; R:=\{[a,s],[a,d],[d,d],[d,f],[s,f], [f,g],[g,g]\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "Q:=Matriz Relacion([a,s,d,f,g],R);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "Matrizdeunosyceros(evalm(add(Q^n,n=1..5)));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "El otro algoritmo que se \+ presentaba es el Algoritmo de Warshall que reduce la complejidad:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Warshall:=proc(M::matrix)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 " \+ local i,j,k,W,n;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 83 " W:=matrix(row dim(M),coldim(M),[seq(seq(M[i,j],j=1...coldim(M)),i=1..coldim(M))]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 " n:=coldim(M);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 " for k from 1 to n do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " for i from 1 to n do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 " for j from 1 to n do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 " W[i,j]:=W[i,j]+(W[i,k]*W[k,j]);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " o d;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " Matrizdeunosyceros(W);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "War shall(Q);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Test del curso 2000/20 01" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 " Sea la siguiente relaci\363 n. " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "restart; A:=\{a,b,c, d,e,f,g,h,i,j\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 143 "R:=\{[ a,b],[a,c],[b,b],[c,b],[c,c],[a,f],[g,h],[h,i],[h,j],[j,i],[j,a],[a,a] ,[d,d],[j,f],[e,e],[f,j],[g,g],[j,j],[i,i],[e,b],[e,a],[f,f],[h,h]\}; " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "1. La relaci\363n anterior: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "a) Es reflexiva y sim\351trica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "b) Es reflex iva y no sim\351trica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "c) Es no reflexi va y no sim\351trica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 60 "Cargamos las funciones que necesitamos para sacar la ma triz:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "with(linalg): MatrizRelacion:=proc(D::list,R::set([an ything,anything]))" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " local i,j,L; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " L:=[];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " for i from 1 to nops(D) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " for j from 1 to nops(D) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 " if member([[op(D)][i],[op(D)][j]],R) then" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 " L:=[op(L),1] else L:=[op(L), 0];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi;" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 " od;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " evalm(matrix(nops(D),nops(D),L)); " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Calculamos entonces la ma triz de la relaci\363n:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "Q:=MatrizRelacion([a,b,c,d,e,f,g,h, i,j],R);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Que tiene la diagonal formada por unos y no es sim\351tri ca por lo que la respuesta correcta es la b)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "2. Calcula el n\372mero de entradas no nulas de la matriz de la clausura transitiva de la rel aci\363n anterior. Respuesta:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "a ) 45" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "b) 48" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "c) 49" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Necesitamos el procedimiento de la matriz de un os y ceros:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "Matrizdeunosyceros:=proc(M::matrix)" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " local i,j,Mat;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 " Mat:=matrix(rowdim(M),coldim(M),0);" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 " for i from 1 to rowdim(M) do" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " for j from 1 to coldim(M) do" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 " if(M[i,j]<>0) then Mat[i,j]:=1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "RETURN(eval(Mat));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "M:= Matrizdeunosyceros(evalm(add(Q^n,n=1..10)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "c:=0; for i from 1 to 10 do for j from 1 to 10 d o c:=c+M[i,j] od; od; c;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "La re spuesta correcta es entonces la a)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "3. La fila s\351ptima de la matriz de l a clausura sim\351trica de la matriz de la relaci\363n es." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "a) 0,0,0,0,0,0,1,0,0,0" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 22 "b) 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 " c) 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "seq(Matrizdeunosyceros(evalm (Q+transpose(Q)))[7,i],i=1..10);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Luego la respuesta correcta es la b)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 " 4.- Sea la matriz M definida abajo:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "a) \+ es la matriz de una relaci\363n sim\351trica y no reflexiva," }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "b) es la matriz de una relaci\363n sim \351trica y reflexiva," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "c) no puede s er la matriz de una relaci\363n." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 261 "M:=matrix(11,11,[0, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0, 0,1,1,2,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,0,2,0, 1,0,1,1,1,1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,0]);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Como no es una matriz de unos y c eros no puede ser la matriz de una relaci\363n. La respuesta correcta \+ es la c)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 " 5.- La relaci\363n (B,S) de finida abajo:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "a) Es una relaci \363n de orden." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "b) Es una relaci\363n \+ de equivalencia" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "c) No es una relaci \363n de orden ni de equivalencia." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 299 "B:=\{1,2,3,4,5,6 ,7,8,9\}; S:=\{[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[5,6],[5,7],[5,8],[1,5],[1,6],[ 1,7],[1,8],[1,9],[2,2],[2,3],[2,4],[2,8],[2,9],[3,3],[3,4],[3,5],[3,6] ,[3,7],[3,8],[3,9],[4,4],[4,5],[4,6],[4,7],[4,8],[4,9],[5,5],[5,9],[6, 6],[6,7],[6,8],[6,9],[7,7],[7,8],[7,9],[2,5],[2,6],[2,7],[8,8],[8,9],[ 9,9]\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Es la relaci\363n de orden usual por lo que la respuesta \+ correcta es la a)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 " 6.- La clausura sim\351tr ica de la relaci\363n anterior es:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "a) BxB-\{(1,2),(2,1)\}" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "b) BxB " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "c) BxB-\{(7,9),(9,7),(2,3),(3,2)\}" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "La respuesta correcta es la b) porque la clausura sim\351trica de una relaci\363n de orden total en un conjunto B es la relaci\363n BxB " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "7.- Sea la matriz N definida m\341 s abajo," }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "a) la relaci\363n que define N es transitiva " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "b) la relaci \363n que define N no es transitiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "c) N no define ninguna relaci\363n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "N:=Matrizdeunosycero s(M);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "evalm(Matrizdeunos yceros(evalm(N^2))-N);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 "Por tan to no puede ser transitiva, la respuesta correcta es la b)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "8.- La matriz d e la clausura reflexiva de la relaci\363n definida por la matriz N:" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "a) Tiene 11 entradas diferentes \+ de N." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "b) Tiene 10 entradas diferentes \+ de N." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "c) Tiene 9 entradas diferentes \+ de N." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 143 "Como la diagonal de N e st\341 formada por ceros, debemos convertirlos todos en unos, por lo q ue hay 11 entradas diferentes, la respuesta es la a)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 115 "9.- Determin ar los valores de a y b en la matriz X definida m\341s abajo para que \+ la relaci\363n que da X sea transitiva." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "a) a=0=b," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "b) a=1=b," }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "c) no hay ning\372n valor de a y b que la haga transitiva." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "X:=matrix(4,4,[1,1,a,0,1,1,b,0,0,0, a,1,0,0,1,0]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "evalm(X^2 );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Como X^2 tiene una entrada \+ no nula que no ten\355a X, la respuesta correcta es la c)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 "10.- Determinar \+ los valores de a y b en la matriz X definida arriba para que la relaci \363n que da X sea sim\351trica." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "a) a=0,b=0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "b) valen todos los po sibles valores de a y b" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "c) ning\372n \+ valor de a y de b hacen que X sea sim\351trica." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "evalm( X-transpose(X));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta \+ correcta es la a)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}} {SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Test del curso 2001/2002" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "restart: with(linalg):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7612 "M:=matrix([[0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0 , 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0 , 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1 , 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1], [0, 1, 0, 0, 1, 0 , 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1], [0, 0 , 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, \+ 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, \+ 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, \+ 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, \+ 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, \+ 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1], [1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, \+ 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 , 1, 1], [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, \+ 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0 , 1, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, \+ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0 , 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1], [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, \+ 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0 , 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, \+ 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 0, \+ 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1 , 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1], [ 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1 , 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1 , 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1 , 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0], [1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 , 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1 , 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0 , 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \+ 1, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, \+ 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1], [0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, \+ 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1], [1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, \+ 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1], [0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, \+ 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0 ], [0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, \+ 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1 , 0, 1, 1, 1], [0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, \+ 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 , 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, \+ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0 , 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, \+ 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1 , 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [0, 1, 0, 1, 1, 1, \+ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 , 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0], [0, 0, \+ 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0 , 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0 , 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1 , 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1], [1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0 , 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1], [0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0 , 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0], [1, 0, 0, 1, 0, 0 , 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1], [0, 0 , 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, \+ 0, 1], [1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, \+ 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, \+ 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1], [1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, \+ 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 , 0, 1], [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, \+ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0 , 0, 1, 0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, \+ 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0 , 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1], [0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, \+ 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1 , 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1], [0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, \+ 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0 , 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "1.-Sea un conju nto A y una relaci\363n R en A representada por la matriz M:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "a) el conjunto A tiene 37 elementos" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "b) el conjunto A tiene 50 elementos" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 36 "c) el conjunto A tiene 100 elementos" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "El cardinal de A e s el n\372mero de filas (o de columnas) de M:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "rowdim(M);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La r espuesta correcta es la b)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "2.- La rel aci\363n R es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "a) sim\351trica y refle xiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "b) sim\351trica pero no reflexiva \nc) ni sim\351trica ni reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Traemos los procedimientos que necesitamo s." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 160 "Mref:=proc(M::matrix)\nlocal j,S,r:\nS:=0:\nfor j fr om 1 to coldim(M)\ndo S:=S+M[j,j]: od:\nif S=coldim(M) then r:=\"refle xiva\": else r:=\"no reflexiva\": \nfi:\nr; end: " }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 236 "Msim:=proc(M::matrix)\nlocal N,S,i,j,r:\nN: =evalm(M-transpose(M)):\nS:=0:\nfor i from 1 to rowdim(M) while S=0 do \nfor j from 1 to rowdim(M) do\nif N[i,j]<>0 then S:=1: fi: od: od:\ni f S=1 then r:=\"no simetrica\" else r:=\"simetrica\" fi:\nr; end:" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Mref(M); Msim(M);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta co rrecta es la c)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "3.- La relaci\363n R es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "a) transitiva y antisim\351trica " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "b) ni antisim\351trica ni transitiva " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "c) antisimetrica y no transitiva" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Traemos l os procedimientos que necesitamos." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 241 "Mantisim:=proc(M::matrix)\n local S,i,j,r:\nS:=0:\nfor i from 1 to rowdim(M) while S=0 do\nfor j f rom 1 to rowdim(M) do\nif M[i,j]=1 and M[j,i]=1 and i<>j then S:=1: fi : od: od:\nif S=1 then r:=\"no antisimetrica\" else r:=\"antisimetrica \" fi:\nr; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 243 "Mtrans: =proc(M::matrix)\nlocal N,S,i,j,r:\nN:=evalm(M^2):\nS:=0:\nfor i from \+ 1 to rowdim(M) while S=0 do \nfor j from 1 to rowdim(M) do\nif N[i,j]< >0 and M[i,j]=0 then\nS:=1: fi: od: od:\nif S=1 then r:=\"no transitiv a\" else r:=\"transitiva\":\nfi:r; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Mantisim(M); Mtrans(M);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "La respuesta correcta es la b)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "4.- La matriz de la clausura reflexiva de R tiene " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "a) 20 entradas distintas a las de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "b) 30 entradas distintas a las de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "c) 50 entradas distintas a las de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Contamos el n\372mero de \+ entradas nulas en la diagonal" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "S:=0:\nfor z from 1 to 50 do\nif M[z,z]=0 then S:=S+1: fi:\nod: \+ S;" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correc ta es la c)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "5.- La matriz de la claus ura sim\351trica de la relaci\363n R tiene:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "a) 2 entradas distintas a las de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "b) 3 entradas distintas a las de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "c) 5 entradas distintas a las de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "Matrizdeunosyceros:=proc(M: :matrix)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " local i,j,Mat;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 " Mat:=matrix(rowdim(M),coldim(M),0 );" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 " for i from 1 to rowdim(M) d o" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " for j from 1 to coldim(M) d o" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 " if(M[i,j]<>0) then Mat[i,j ]:=1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "RETURN(eval(Mat));" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "N:=Matrizdeunosyceros(evalm(M+transpose(M))):" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 99 "Vamos a construir un procedimiento para contar el \+ n\372mero de entradas diferentes entre dos matrices:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 164 "Entradas:=proc(M::matrix, N::matrix)\nlo cal S,z,t:\nS:=0:\nfor z from 1 to coldim(M) do\nfor t from 1 to coldi m(M) do\nif N[z,t]<>M[z,t] then S:=S+1: fi:\nod: od: S; end:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "Entradas(M,N);" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la a)." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 90 "6.- Sea el conjunto B y la relaci\363n S definidas abaj o. Sea Ct la clausura transitiva de S:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "a) Ct tiene 28 elementos m\341s que S " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "b) Ct tiene 32 elementos m\341s que S" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "c) Ct tiene 64 elementos m\341s que S" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 242 "B:=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}; S:=\{[1,1],[1,2],[1,3],[ 2,2],[2,3],[2,5],[3,3],[3,5],[3,5],[3,6],[4,5],[4,6],[4,7],[5,5],[8,5] ,[8,6],[8,7],[8,8],[8,9],[9,5],[9,9],[9,6],[0,0],[0,1],[0,5],[8,0],[0, 4],[4,0],[7,7],[7,8],[4,3],[4,4],[8,3],[0,1],[1,0]\};\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Calculamos la matriz de la relaci\363n:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "MatrizRelacion:=proc(D::l ist,R::set([anything,anything]))" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " local i,j,L;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " L:=[];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " for i from 1 to nops(D) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " for j from 1 to nops(D) do" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 " if member([[op(D)][i],[op(D)][j]],R) then " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 " L:=[op(L),1] else L:=[op (L),0];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 " od; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " evalm(matrix(nops(D),nops(D),L ));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "A:=MatrizRelacion([1,2,3,4,5,6,7,8,9,0],S);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 153 "Se trata entonces de calcular la \+ clausura transitiva y ver el n\372mero de entradas no nulas nuevas que tiene, lo hacemos mediante el algoritmo de Warshall:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Warshall:=proc(M::matrix)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 " local i,j,k,W,n;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "W:=matrix(rowdim(M),coldim(M),[seq(seq(M[i,j],j=1...c oldim(M)),i=1..coldim(M))]): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 " \+ n:=coldim(M);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 " for k from 1 to \+ n do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " for i from 1 to n do" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 " for j from 1 to n do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 " W[i,j]:=W[i,j]+(W[i,k]*W[k,j]);" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " Matrizdeunosyceros(W);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "L:=Warshall(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 " Entradas(A,L);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta \+ es la a)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Si lo hacemos mediante el ot ro algoritmo:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "J:=Matrizde unosyceros(evalm(add(A**i,i=1..10))):\nEntradas(A,J);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "7.- La relaci\363n S:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "a) es antisim\351trica y transitiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "b) es sim\351trica y reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "c) \+ no es reflexiva ni sim\351trica ni transitiva" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "Msim(A); Mref(A); Mantisim(A); Mtrans(A);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la c)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "8. Determinar los valores de a y b para que la relaci\363n que re presenta la siguiente matriz P sea reflexiva:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "P:=matrix(5,5,[1,1,1,1,a,1,1,1,b,1,a,1,1,1,1,0,0 ,0,0,0,a,a,a,b,1]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "a) No hay ning \372n valor de a y b que la haga reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "b) cualquier valor de a y b la hacen reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "c) a=1, b=1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Como" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "P[4,4]; " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la a)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "9 . Idem que 8 pero para la propiedad sim\351trica." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "a) No hay ning\372n valor de a y b que la haga reflexiva " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "b) cualquier valor de a y b la hacen \+ reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "c) a=1, b=0." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Como " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "evalm(P-transpose(P));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "tiene entradas no nulas la matriz nunca puede ser sim\351trica, la respuesta correcta es la a)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "10. Idem que 8 pero para la propiedad transitiva." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "a) No hay ning\372n valor de a y b que la haga reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "b) cualquier valor de \+ a y b la hacen reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "c) a=1, b=1. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Como: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "evalm(Matrizdeunosyceros (evalm(P^2))-P);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "Q:=matr ix(5,5,[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "evalm(Q^2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la c)." }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Test del curso 2002/2003" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "restart: with(linalg):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Sea M la matriz definida por" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6177 "M:=matrix([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], \+ [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \+ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \+ 0, 0], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "1.-Sea un conjunto A y una relaci\363n R en A representada por la matriz M:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "a) el conjunto A tiene 84 elementos" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "b) e l conjunto A tiene 50 elementos" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "c) el \+ conjunto A tiene 45 elementos" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "El cardinal de A es el n\372mero de filas (o de columnas) de M:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "ro wdim(M);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la \+ c)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "2.- La relaci\363n R es: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "a) sim\351trica y reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "b) sim\351trica pero no reflexiva \nc) ni sim \351trica ni reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Traemos los procedimientos que necesitamos." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 160 "Mref:=proc(M::matrix)\nlocal j,S,r:\nS:=0:\nfor j from 1 to col dim(M)\ndo S:=S+M[j,j]: od:\nif S=coldim(M) then r:=\"reflexiva\": els e r:=\"no reflexiva\": \nfi:\nr; end: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 236 "Msim:=proc(M::matrix)\nlocal N,S,i,j,r:\nN:=evalm(M- transpose(M)):\nS:=0:\nfor i from 1 to rowdim(M) while S=0 do\nfor j f rom 1 to rowdim(M) do\nif N[i,j]<>0 then S:=1: fi: od: od:\nif S=1 the n r:=\"no simetrica\" else r:=\"simetrica\" fi:\nr; end:" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Mref( M); Msim(M);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la b)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "3.- La relaci\363n R \+ es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "a) transitiva y antisim\351trica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "b) ni antisim\351trica, ni transitiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "c) antisim\351trica y no transitiva" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Traemos l os procedimientos que necesitamos." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 241 "Mantisim:=proc(M::matrix)\n local S,i,j,r:\nS:=0:\nfor i from 1 to rowdim(M) while S=0 do\nfor j f rom 1 to rowdim(M) do\nif M[i,j]=1 and M[j,i]=1 and i<>j then S:=1: fi : od: od:\nif S=1 then r:=\"no antisimetrica\" else r:=\"antisimetrica \" fi:\nr; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 243 "Mtrans: =proc(M::matrix)\nlocal N,S,i,j,r:\nN:=evalm(M^2):\nS:=0:\nfor i from \+ 1 to rowdim(M) while S=0 do \nfor j from 1 to rowdim(M) do\nif N[i,j]< >0 and M[i,j]=0 then\nS:=1: fi: od: od:\nif S=1 then r:=\"no transitiv a\" else r:=\"transitiva\":\nfi:r; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Mantisim(M); Mtrans(M);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la b)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "4.- La matriz de la clausura reflexiva de R tiene " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "a) 0 entradas distintas a las de M" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "b) 45 entradas distintas a las de M" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "c) 40 entradas distintas a las de M" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Contamos \+ el n\372mero de entradas nulas en la diagonal" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "S:=0:\nfor z from 1 to rowdim(M) do\nif M[z,z]=0 then S:=S+1: fi:\nod: S;" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la b)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "5.- La matriz de la clausura sim\351trica de la relaci \363n R tiene:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "a) 0 entradas distintas a las de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "b) 10 entradas distintas a las de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "c) 4 entradas distintas a la s de M" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 113 "Siendo M la matriz de una rel aci\363n sim\351trica, la matriz de su clausura sim\351trica tiene las mismas entradas que M." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Para verificar lo directamente:\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "Matri zdeunosyceros:=proc(M::matrix)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " \+ local i,j,Mat;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 " Mat:=matrix(ro wdim(M),coldim(M),0);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 " for i fr om 1 to rowdim(M) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " for j fr om 1 to coldim(M) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 " if(M[i, j]<>0) then Mat[i,j]:=1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi; \+ " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "RETURN(eva l(Mat));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "N:=Matrizdeunosyceros(evalm(M+transpose(M)) ):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Vamos a construir un procedimiento para contar el n\372mero de \+ entradas diferentes entre dos matrices:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 164 "Entradas:=proc(M::matrix, N::matrix)\nlocal S,z,t:\n S:=0:\nfor z from 1 to rowdim(M) do\nfor t from 1 to coldim(M) do\nif \+ N[z,t]<>M[z,t] then S:=S+1: fi:\nod: od: S; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "Entradas(M,N);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "Tambi\351n, se puede utilizar el comando de Maple " } {TEXT 275 11 "iszero(B), " }{TEXT -1 48 "que determina si una matriz B es la matriz cero:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "isze ro(evalm(M-N));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la a)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "6.- Sea el conjunt o B y la relaci\363n S definidas abajo. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 247 "B:=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}: S:=\{[1,1],[1,2],[1,3],[ 2,2],[2,3],[2,5],[3,3],[3,5],[3,5],[3,6],[4,5],[4,6],[4,7],[5,5],[8,5] ,[8,6],[8,7],[8,8],[8,9],[9,5],[9,9],[9,6],[0,0],[0,1],[0,5],[8,0],[0, 4],[4,0],[7,7],[7,8],[4,3],[4,4],[8,3],[0,1],[1,0],[6,6]\}:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Sea Ct la claus ura transitiva de S. Se verifica que:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 " a) Ct no es reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "b) Ct es una rel aci\363n de orden total" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "c) Ct no es un a relaci\363n de orden" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 248 "B:=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}; S:=\{[ 1,1],[1,2],[1,3],[2,2],[2,3],[2,5],[3,3],[3,5],[3,5],[3,6],[4,5],[4,6] ,[4,7],[5,5],[8,5],[8,6],[8,7],[8,8],[8,9],[9,5],[9,9],[9,6],[0,0],[0, 1],[0,5],[8,0],[0,4],[4,0],[7,7],[7,8],[4,3],[4,4],[8,3],[0,1],[1,0],[ 6,6]\};\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Calculamos la matriz A de la relaci\363n:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "MatrizRelacion:=proc(D::list,R::set ([anything,anything]))" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " local i, j,L;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " L:=[];" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 27 " for i from 1 to nops(D) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " for j from 1 to nops(D) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 " if member([[op(D)][i],[op(D)][j]],R) then" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 " L:=[op(L),1] else L:=[op(L), 0];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi;" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 " od;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " evalm(matrix(nops(D),nops(D),L)); " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 43 "A:=MatrizRelacion([1,2,3,4,5,6,7,8,9,0],S);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "Se trata entonces de calcular la c lausura transitiva. Lo hacemos mediante el algoritmo de Warshall:" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "Warshall:=proc(M::matrix)" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 " local i,j,k,W,n;" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 "W:=matrix(rowdim(M),coldim(M),[seq(seq(M[i,j], j=1...coldim(M)),i=1..coldim(M))]): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 " n:=coldim(M);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 " for k fr om 1 to n do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " for i from 1 to \+ n do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 " for j from 1 to n do" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 " W[i,j]:=W[i,j]+(W[i,k]*W[k,j] );" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 " Matrizdeunosyceros(W);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "L:=Warshall(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "M ref(L);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "Mantisim(L);" }} }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la c)." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 115 "7.- Determinar si existen valores de a y b para que la relaci\363 n que representa la siguiente matriz P sea reflexiva:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 95 "P:=matrix(5,5,[[1,1,a*b,a*b,a],[1,1,1,1,a ^3],[a,1,1,a*b,a],[a*b,1,a*b,a,b],[a^2,a*b,a*b,b,1]]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "a) no hay valores de a y b que la hagan reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "b) es reflexiva para cualquier valor de a y b" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "c) hay valores de a y b que la hagan reflexiva" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 95 "P:=matrix(5,5,[[1,1,a*b,a*b,a],[1,1,1,1,a^3],[ a,1,1,a*b,a],[a*b,1,a*b,a,b],[a^2,a*b,a*b,b,1]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es \+ la c)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "8.- Idem que 7 pero par a la propiedad sim\351trica:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "a) no hay valores de a y b que la hagan sim\351trica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "b) es sim\351trica para cualquier valor de a y b" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "c) existen valores de a y b que la hagan sim\351tric a" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Como la matriz" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "evalm(P-transp ose(P));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "tiene todas las entradas nul as si " }{XPPEDIT 18 0 "a*b-a;" "6#,&*&%\"aG\"\"\"%\"bGF&F&F%!\"\"" }{TEXT -1 7 " = 0, " }{XPPEDIT 18 0 "a-a^2;" "6#,&%\"aG\"\"\"*$F$\"\" #!\"\"" }{TEXT -1 6 "= 0 y " }{XPPEDIT 18 0 "a^3-a*b;" "6#,&*$%\"aG\" \"$\"\"\"*&F%F'%\"bGF'!\"\"" }{TEXT -1 32 " = 0, los posibles valores son " }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "a;" "6#%\"aG" }{TEXT -1 6 " =0 y " }{XPPEDIT 18 0 "b;" "6#%\"bG" }{TEXT -1 11 " = 0 \363 1 y" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "a;" "6#%\"aG" }{TEXT -1 6 " =1 y " }{XPPEDIT 18 0 "b;" "6#%\"bG" }{TEXT -1 4 " =1." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la c)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 135 "9.- Dete rminar si existen valores de a y b para que la relaci\363n que represe nta la matriz P de los problemas 7 y 8 sea de equivalencia:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "a) no hay valores de a y b que la hagan de equ ivalencia" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "b) es de equivalencia para a =1 y b=0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "c) es de equivalencia para a= 1 y b=1" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Como toda relaci\363n de equivalencia tiene que ser reflexiva, nec esariamente tiene que ser " }{XPPEDIT 18 0 "a;" "6#%\"aG" }{TEXT -1 9 " =1. Si " }{XPPEDIT 18 0 "a;" "6#%\"aG" }{TEXT -1 70 " =1, por el p roblema 8 anterior, la relaci\363n es tambi\351n sim\351trica si " } {XPPEDIT 18 0 "b;" "6#%\"bG" }{TEXT -1 53 " =1. Tenemos que verificar \+ que para estos valores de " }{XPPEDIT 18 0 "a;" "6#%\"aG" }{TEXT -1 4 " y " }{XPPEDIT 18 0 "b;" "6#%\"bG" }{TEXT -1 28 " la relaci\363n es transitiva:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 116 "a:=1;b:=1;P :=matrix(5,5,[[1,1,a*b,a*b,a],[1,1,1,1,a^3],[a,1,1,a*b,a],[a*b,1,a*b,a ,b],[a^2,a*b,a*b,b,1]]); Mtrans(P);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Tambi\351n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "Matrizd eunosyceros:=proc(M::matrix)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 " l ocal i,j,Mat;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 " Mat:=matrix(rowd im(M),coldim(M),0);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 " for i from 1 to rowdim(M) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " for j from 1 to coldim(M) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 " if(M[i,j] <>0) then Mat[i,j]:=1;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " fi; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "RETURN(eva l(Mat));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "evalm(Matrizdeunosyceros(evalm(P^2))-P);" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta correcta es la c)." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "10.- Sea B la siguiente m atriz, que representa una relaci\363n en el conjunto \{1,2,3,4,5,6,7,8 \}:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 220 "B:=matrix([[1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [1, 0, \+ 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1]]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Se verifica que:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "a) B define una relaci \363n de equivalencia y la clase de equivalencia de 1 es \{1,5\}." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "b) B define una relaci\363n de equivalenc ia y la clase de equivalencia de 1 es \{1,5,7\}." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "c) B no define una relaci\363n de equivalencia" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 220 " B:=matrix([[1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, \+ 1, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 1, 0, 1 , 1, 1]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 160 "Mref:=proc(M ::matrix)\nlocal j,S,r:\nS:=0:\nfor j from 1 to coldim(M)\ndo S:=S+M[j ,j]: od:\nif S=coldim(M) then r:=\"reflexiva\": else r:=\"no reflexiva \": \nfi:\nr; end: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "Mref( B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 236 "Msim:=proc(M::matri x)\nlocal N,S,i,j,r:\nN:=evalm(M-transpose(M)):\nS:=0:\nfor i from 1 t o rowdim(M) while S=0 do\nfor j from 1 to rowdim(M) do\nif N[i,j]<>0 t hen S:=1: fi: od: od:\nif S=1 then r:=\"no simetrica\" else r:=\"simet rica\" fi:\nr; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "Msim( B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 243 "Mtrans:=proc(M::mat rix)\nlocal N,S,i,j,r:\nN:=evalm(M^2):\nS:=0:\nfor i from 1 to rowdim( M) while S=0 do \nfor j from 1 to rowdim(M) do\nif N[i,j]<>0 and M[i,j ]=0 then\nS:=1: fi: od: od:\nif S=1 then r:=\"no transitiva\" else r:= \"transitiva\":\nfi:r; end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "Mtrans(B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Siendo reflexiv a, sim\351trica y transitiva, la relaci\363n definida por B es de equi valencia." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "La clase de equivalencia de \+ 1 es, mirando a la primera fila de la matriz B, \{1,5\}." }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "La respuesta corre cta es la a)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "#fin" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{MARK "17" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }