Fundamentos de Matemáticas
para el Estudio
del Medio Ambiente
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Grupo A y Grupo B
Revisión: Lunes 1 de Febrero a las 11:00 en el despacho 030 (grupo A) ó 006 (grupo B).
Profesores
de la Asignatura
Turno
de tarde
(único)
- Jesús Gómez Gardenes
Despacho 030 (edificio departamental II)
Tfno. 91 488 70 01
Dirección electrónica: jesus.gardenes (en el dominio @urjc.es)
Tutorías: Martes y Miércoles de 15:00 a 17:00. Preferiblemente, contáctese antes con el profesor vía e-mail. - Marcos Sánchez Martín
Despacho 024 (edificio departamental II)
Dirección electrónica: marcos.sanchez (en el dominio @urjc.es)
Tutorías: Martes de 17:00 a 19:00. Preferiblemente, contáctese antes con el profesor vía e-mail. - Luis E. Solá Conde
Despacho 006 (edificio departamental II)
Tfno. 91 488 83 17
Dirección electrónica: luis.sola (en el dominio @urjc.es)
Tutorías: Lunes y Martes de 10:00 a 12:00, y miércoles de 11:00 a 13:00. Preferiblemente, contáctese antes con el profesor vía e-mail. - Begoña Jiménez Martín
Despacho 016 (edificio departamental II)
Dirección electrónica: begona.jimenez (en el dominio @urjc.es)
Tutorías: Lunes de 19.00 a 20.00 y Jueves de 15:00 a 16:00. Preferiblemente, contáctese antes con el profesor vía e-mail.
Ejercicios
A lo
largo del
curso se propondrán ejercicios que impliquen la
aplicación práctica de los
conceptos teóricos adquiridos. Algunos de ellos pueden
encontrarse en las hojas
de ejercicios que se publicarán en este apartado.
FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
· Cambios
de variable en integración
ÁLGEBRA LINEAL
- Hoja 4: Espacios
Vectoriales
- Hoja 5: Matrices
- Hoja 6: Espacios
Vectoriales
- Hoja 7: Determinantes
- Hoja 8: Aplicaciones
lineales, Hoja 8B: Aplicaciones lineales
- Hoja
9: Diagonalización
ECUACIONES DIFERENCIALES
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
- Hoja 12: Funciones de varias variables;
límites y continuidad.
- Hoja 13: Diferenciabilidad de funciones de varias variables.
- Hoja 14: Integración de funciones de varias variables.
Información
docente
Programa
Objetivos
La
asignatura Fundamentos
Matemáticos para el Estudio del Medio Ambiente tiene como
objetivos de
carácter general los siguientes:
- Conocer la estructura de espacio
vectorial.
- Conocer el concepto de aplicación
lineal.
- Conocer y aplicar las principales
técnicas de cálculo matricial.
- Resolver sistemas de ecuaciones lineales
mediante métodos directos e iterativos.
- Conocer la estructura de espacio
euclídeo.
- Conocer y manejar las estructuras
elementales del espacio geométrico tridimensional.
- Conocer y aplicar los principales
resultados del cálculo diferencial de funciones de una y varias
variables.
- Conocer y aplicar los principales
resultados del cálculo integral clásico de funciones de
una y varias variables.
- Resolver integrales curvilíneas y
de superficie y conocer y saber aplicar los teoremas integrales del
cálculo vectorial.
- Conocer los conceptos fundamentales sobre
ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicar los métodos de
resolución de las más sencillas.
- Conocer y aplicar métodos de
interpolación, integración numérica y
derivación numérica.
Funciones
de una
variable real
- Números reales y complejos. Números naturales. Números
enteros. Números racionales. Números irracionales.
Concepto de número real. Números complejos.
Representación de los números complejos.
Aritmética compleja. Ejercicios.
- Continuidad y derivabilidad de funciones
de una variable. Concepto
de entorno de un número real. Límites de funciones de una
variable. Continuidad. Comportamiento de la continuidad respecto a la
aritmética de funciones. Concepto de derivada. Derivabilidad y
continuidad. Comportamiento de la derivabilidad respecto a la
aritmética de funciones. Regla de la cadena. Derivada de la
función inversa. Derivadas de orden superior. Diferenciabilidad
en un punto. Diferencial. Regla de l'Hôpital. Ejercicios.
- Aplicaciones de la derivación. Desarrollos en serie de Taylor. Extremos
de funciones: extremos relativos libres, condiciones necesarias de
extremos libres, condiciones suficientes de extremos libres, extremos
relativos condicionados. Estudio local de gráficas de funciones:
monotonía, concavidad y convexidad; extremos; posición de
una curva respecto a su tangente; asíntotas. Ejercicios.
- Integración de funciones de una
variable. Concepto de
integral de Riemann. Funciones integrables. Propiedades de la integral
de Riemann. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow.
Integración por partes. Cambio de variables. Primitivas e
integración indefinida. Ejercicios.
Álgebra
Lineal
- Sistema de ecuaciones lineales: El
método de Gauss.
Sistemas de ecuaciones lineales. Eliminación gaussiana. Sistemas
de ecuaciones lineales homogéneos. Rango de un conjunto de
vectores. Matrices y operaciones entre matrices. Rango de una matriz.
Teorema de Rouché. Reglas de la aritmética matricial.
Matrices elementales, cálculo de la inversa de una matriz
mediante operaciones elementales. El método de Gauss-Jordan.
Ejercicios.
- Determinantes. La función determinante.
Cálculo de determinantes mediante operaciones en las filas.
Propiedades de la función determinante. Desarrollo por los
elementos de una línea. Ejercicios.
- Espacios vectoriales. Definición de espacio vectorial.
Subespacios vectoriales. Dependencia e independencia lineal. Base y
dimensión de un espacio vectorial. Espacios de dimensión
finita. Coordenadas. Cambio de base. Ejercicios.
- Aplicaciones lineales. Definición de aplicación
lineal. Matrices asociadas a una aplicación lineal.
Núcleo, imagen y rango. Isomorfismos y cambios de base.
Ejercicios.
- Espacios euclídeos. Producto escalar. Espacio
euclídeo. Ortogonalidad y ortonormalidad. Método de
Gram-Schmidt. Ejercicios.
- Diagonalización de endomorfismos. Endomorfismos y cambios de base.
Autovalores y autovectores. Diagonalización. Propiedades y
aplicaciones. Ejercicios.
- Geometría tridimensional. Variedades afines. El espacio
geométrico tridimensional. Ecuaciones de rectas y planos.
Posición relativa de rectas y planos. Distancias y
ángulos en E3. Ejercicios.
Funciones
de
varias variables reales
- Continuidad y derivabilidad de funciones
de varias variables.
Límite de una función de varias variables. Continuidad.
Diferencial. Derivadas parciales y direccionales. Diferenciabilidad.
Teorema del valor medio. Derivación de funciones compuestas:
regla de la cadena. Desarrollo de funciones de varias variables en la
dirección de un vector. Extremos relativos libres.
Composición de funciones: regla de la cadena. Curvas de nivel de
funciones de dos variables. El teorema de la función
implícita. Ejercicios.
- Integración de funciones de varias
variables. Integral doble.
Integral triple. Propiedades de la integración múltiple.
Teoremas de Fubini. Cambio de variable. Cálculo de áreas.
Cálculo de volúmenes. Aplicaciones. Ejercicios.
- Cálculo vectorial. Campos vectoriales. Divergencia y
rotacional de un campo vectorial. Integral curvilínea.
Circulación de un vector. Área de una superficie.
Integrales de superficie. Flujo de un vector. Teoremas integrales del
análisis vectorial.
Introducción
a
las ecuaciones diferenciales ordinarias
- Introducción a las ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Concepto de ecuación diferencial. Ecuaciones diferenciales
ordinarias. Definición y conceptos generales. Problemas de
Cauchy y problemas de contorno. Resolución de ecuaciones
diferenciales de primer orden: a) del tipo y' = f(x),
b) de variables separadas, c) homogéneas,
d) exactas, e) factores integrantes, f) lineales,
g) reducibles a lineales. Resolución de ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales de orden superior. Aplicaciones a la
ingeniería química: modelos de cinética
química. Ejercicios.
Bibliografía
Bibliografía
recomendada
- Anton, H. Introducción al álgebra
lineal. Limusa (1997).
- Anton, H. Calculus (5ª
edición). John Wiley (1995).
- Burgos, J. Álgebra lineal.
McGraw-Hill (1993).
- Burgos, J. Cálculo infinitesimal de una
variable. McGraw-Hill (1994).
- Burgos, J. Cálculo infinitesimal de
varias variables. McGraw-Hill (1995).
- Campbell, S. L.; Haberman, R. Introducción a las ecuaciones
diferenciales con problemas de valores en la frontera. McGraw-Hill
(1998)
- De la Villa, A. Problemas de álgebra.
CLAGSA (1994).
- Demidovich, B. P. 5000 problemas de Análisis
Matemático. Paraninfo (1989).
- Fontelos, M. A.; Kindelán, U. Fundamentos Matemáticos de la
Ingeniería.
- Hernández, E. Álgebra y geometría.
Addison-Wesley/U.A.M.
(1994).
- Larson, R.; Hostetler, B.;
Edwards, H. Cálculo,
vol. II. McGraw-Hill (2005).
- Lay, D. C. Álgebra Lineal y sus
aplicaciones.
- Lelong-Ferrand, J. Ejercicios resueltos de
análisis. Reverté (1986).
- Lipschutz, S. Álgebra Lineal.
- Marsden, J. E.; Tromba, A. J. Cálculo vectorial.
Addison-Wesley Iberoamericana (1991).
- Pestana, D. et al. Curso práctico de
Cálculo y Precálculo. Editorial Ariel, S.A. (2000).
- Spiegel, M. R. Teoría y problemas de
Cálculo superior. McGraw-Hill (1989).
Bibliografía
complementaria
- Acero, I.; López, M. Ecuaciones diferenciales.
Teoría y problemas. Tébar Flores (1997).
- Burden, R. L.; Faires, J. D. Análisis numérico
(6ª edición). International Thomson Editores (1998).
- Castellet, M.; Llerena, I. Álgebra Lineal y
Geometría.
- Conde, C.; Winter, G. Métodos y algoritmos
básicos del álgebra numérica. Reverté
(1990).
- Krasnov, M.; Kiseliov, A.; Makarenko, G.;
Shikin, E. Curso de
matemáticas superiores para ingenieros. Vols. 1 y 2. Mir
(1994).
- Marsden, J.; Weinstein, A. Calculus. Vols 1, 2 y 3.
Springer-Verlag (1985).
- Michavila, F; Conde, C. Métodos de aproximación.
Dpto. de Matemática Aplicada y Mét. Inf., Universidad
Politécnica de Madrid (1988).
- Nevot, A.; Poncela, J. M.; Soler, J. Apuntes y problemas de
matemática superior. Taurus Universitaria (1994).
- Zill, D. G. Ecuaciones diferenciales con
aplicaciones al modelado. International Thomson (1997).
Laboratorio
Se
realizarán un
total de 20 horas regladas de laboratorio en grupos dimensionados
según las
disponibilidades de las aulas. Durante estas horas se realizarán
ejercicios de
la asignatura (primer cuatrimestre) y prácticas con Maple
(segundo
cuatrimestre) de derivación y diferenciación,
cálculo integral, determinación
de extremos de funciones, representación gráfica de
funciones y resolución de
sistemas lineales. El horario de las prácticas será
anunciado con anterioridad
por el profesor en el aula y en esta página web. La asistencia a
las prácticas
no es obligatoria, pero los conocimientos del alumno relativos a ellas
se
evaluarán en las convocatoria de enero y mayo (véase el
apartado siguiente).
HORARIOS DEL GRUPO A
Martes 2 de Febrero: 12:00 a
14:00 (Aulario I, 108-109).
Jueves 4 de Febrero: 12:00 a
14:00
(Aulario I, 108-109).
Martes 9 de Febrero: 12:00 a
14:00 Aulario I, 108-109).
Jueves 11 de Febrero: 12:00 a
14:00
(Aulario I, 108-109).
Jueves 11 de Marzo: 12:00 a
14:00 (Aulario I, 108-109).
HORARIOS DEL GRUPO B
Miércoles 3 de Febrero: 12:00
a 14:00
(Aulario I, 108-109).
Viernes 5 de Febrero: 12:00 a
14:00
(Aulario I, 108-109).
Miércoles 10 de Febrero:
12:00 a 14:00 (Aulario I, 108-109).
Viernes 12 de Febrero: 12:00 a
14:00
(Aulario I, 108-109).
Miércoles 10 de Marzo: 12:00
a 14:00 (Aulario I, 108-109).
MATERIAL DE LAS PRÁCTICAS
Evaluación
La
asignatura se divide
en dos partes, correspondientes a los dos cuatrimestres del curso. El
alumno ha
de obtener un mínimo de 4,5 en cada una de las partes siempre
que la media
entre las dos sea mayor o igual que 5.
La
nota
correspondiente a cada parte puede obtenerse de diferentes maneras:
Mediante la realización de las
pruebas de evaluación
continua: en cada cuatrimestre se realizarán un control a mitad
del
cuatrimestre y un examen parcial. La nota obtenida en dicho
cuatrimestre se
calculará como el máximo entre la nota del parcial y la
suma del 10% del
control y el 90% del parcial.
Mediante la realización de la parte
correspondiente
en el examen final, en cualquiera de las convocatorias oficiales (junio
y
septiembre).
En la
materia del
segundo cuatrimestre se incluyen las prácticas de Maple, que
serán evaluadas en
el segundo parcial y las partes correspondientes de los exámenes
finales.
