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El Álgebra Lineal es seguramente, una de las
herramientas fundamentales en las Ciencias de
la Computación.
Originariamente dedicada a la resolución de sistemas de
ecuaciones, su abstracción y formalismo la hacen a veces un poco árida de
entender. Sin embargo la inmensidad de sus aplicaciones bien vale el
esfuerzo: Teoría de
la
Información, Teoría de Códigos, Criptografía,... Incluso
las más recientes tendencias en computación como
la Computación Cuántica
tienen en el Álgebra Lineal su herramienta clave.
En este curso introduciremos los conceptos y técnicas clave del Álgebra
Lineal y veremos por encima algunas de sus aplicaciones a
la Informática, en
concreto a la Teoría
de Códigos.
1. Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices.
Estructuras algebraicas.
(14 h., 8 T + 6 P)
Sistemas de ecuaciones lineales. Compatibilidad e
incompatibilidad. Ecuaciones lineales con dos y tres variables:
rectas en el plano y planos en el espacio (revisión de conceptos).
Sistemas homogéneos. Transformaciones elementales por filas.
Sistemas equivalentes. Eliminación gaussiana. Método de
Gauss-Jordan.
Matrices y operaciones matriciales. Suma de
matrices. Producto de matrices. Propiedades del producto de
matrices. El producto de una matriz por un escalar. El anillo de
las matrices cuadradas. El grupo de las matrices invertibles de
orden n. Matrices elementales. Método para calcular la inversa de
una matriz inversible.
Estructuras algebraicas. Grupos, anillos y cuerpos. Ejemplos de
cuerpos: R, C y Z2.
2. Espacios vectoriales
(20 h., 12 T + 8 P)
Vectores en el plano y en el espacio. Aritmética vectorial. Norma
de un vector. Distancias. Ángulo entre dos vectores. Producto escalar y
propiedades aritméticas y geométricas. Producto vectorial y producto mixto.
Rectas en el plano. Rectas y planos en el espacio tridimensional.
Espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Definición y propiedades.
Ejemplos para K=R, C y Z2. Producto cartesiano de espacios
vectoriales. Funciones con imagen en un espacio vectorial. Subespacios
vectoriales: definición y caracterizaciones. Combinaciones lineales. Sistemas
de generadores. Sistemas libres y ligados. Bases y dimensión. Espacios de
dimensión finita e infinita. Espacio de filas y de columnas de una matriz.
Rango de una matriz.
Ecuaciones lineales: teorema de Rouché-Fröbenius. Transformaciones elementales
por columnas. Método para determinar el rango de un sistema de vectores y
aplicaciones.
Determinantes, trasformaciones elementales, sistemas libres y
volúmenes.
3. Funciones lineales
(18 h., 10 T + 5 P)
Funciones lineales. Ejemplos y propiedades. Núcleo e imagen de
una
función lineal. Espacios vectoriales isomorfos. Caracterización de
las funciones lineales por su actuación sobre los elementos de una
base. Rango y nulidad. Teorema de la dimensión. Representación
matricial de una función lineal respecto a bases del dominio y del
codominio. Algoritmo para hallar una base del núcleo y de la
imagen. Matrices semejantes y cambios de base.
Geometría de las funciones lineales y transformaciones elementales.
Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio vectorial.
4. Códigos lineales
(5 h., 2 T + 3 P)
El problema de la codificación. Ejemplos de códigos. Distancia de
Hamming, detección y corrección de errores. El código de paridad y el código
de repetición. Códigos lineales. Ecuaciones paramétricas y matrices
generadoras. Ecuaciones implícitas y matrices de control. El método de Gauss
y los procesos de obtención de una matriz de control a partir de una
generadora y viceversa. Detección de errores. Corrección de errores.
5. Autovalores y autovectores.
(18 h., 8 T + 10 P)
Autovalores y autovectores. Funciones complejas de variable real.
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. La ecuación de
primer orden. La ecuación de orden n. Sistemas de ecuaciones diferenciales.
Matrices semejantes y sistemas de ecuaciones.
Matrices diagonalizables. Matrices no diagonalizables. Triangulación de
matrices.
Relaciones de recurrencia lineales con coeficientes constantes. Sistemas de
relaciones de recurrencia.
D. C. Lay (1999), Álgebra lineal y sus aplicaciones, 2a
Ed., Addison-Wesley Longman.
Apuntes de la asignatura del año
pasado y problemas resueltos (Versión pdf)
NOTA:
- Bibliografía complementaria
L. Merino y E. Santos (2006), Álgebra
Lineal con métodos elementales, Editorial Thompson.
M. Castellet y I. Llerena (1991), Álgebra
Lineal y Geometría, Editorial Reverté.
Anton, H. (1997) Introducción al Álgebra lineal, Ed.
Limusa (Noriega Editores), Segunda edición.
J. de Burgos (1993), Álgebra lineal, Ed. McGraw Hill.
A. De la Villa
(1998), Problemas de Álgebra. Ed. CLAGSA.
S. Lipschutz (1992), Álgebra lineal, 2a
Ed., Ed. McGraw Hill.
Convocatoria de mayo
Examen final.
La nota en la asignatura se determinará por medio de un examen final. Para
aprobar la asignatura será preciso obtener al menos 5 puntos de
los 10 posibles. NO se permitirá la utilización de apuntes y
libros NI calculadora.
Convocatoria de junio:
La convocatoria de septiembre se evaluará solamente sobre un examen final.
Para aprobar la asignatura será preciso obtener al menos 5 puntos de los 10
posibles.
NO se permitirá la utilización de apuntes y libros NI
calculadora.
Hojas de problemas:
Hoja 1
Hoja 2
Hoja 2 (Móstoles)
Hoja 3
Hoja 4
Hoja 5
Tutorías Conjuntas:
-
Presentación de la
Asignatura. Tema1. 16 de febrero de 17:00 a 19:00.
-
Tema 2: 2 de
marzo de 17:00 a 19:00.
-
Tema 3: 16
de marzo de 17:00 a 19:00.
-
Tema 4:
13 de abril de 17:00 a 19:00
-
Tema 5: 27
de abril de 17:00 a 19:00