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JdxyywY]eF]TN@?jysyffKGdKGDJSxIyA:RNFD:xIyQTjb:vhyyYyQSjb:ilN`lf`yyYyAZ\\gdKGD?EXyyyxIJtHob@_KOFry::::::cEXyyyxI:>iD_hyyY yA::::::::::::::::::::::::::::::::::g_?gb?gdOgewgi wgi?hj?hlwYxI:::RNFD:bF_SN]lbJS@?]::Zymy;::<:;::^_yyYyA<:;::ryvY::Z:J:::Usyyq y[:J:b:@j:F:>Zymy;::<:=R:=R::;B:U;yA<:;::ryvY::Z:j:R:;j:: :Zymy;::<:=R:=R:;J:::Zymy;::<:=R:;R:;Z:F::@J:>Z::xIyA::B:>:j:F:;jQryZ:J:::xIyA::B:>:j:F:;jQryZ:J::: xIyA::B:FZ;R:;j:R:;jQryZ:J:::xIyA::B:>Z;>Z;B:=Z:>:Y[y=<:;::ryvY::Z:j:@ J:FZ:FZ;J::yay=<:;:Z;>:;ryvY::Z:J:@::yay=<:;::ryvY::Z:j::@J:>Z::xIyA::B:>:j:J:vYxIB: >::Zymy;::<:;:j:jysyZ:J:::xIyA::B:>Z;FZ;FZ:R:jysyZ:J:R:;J:<:ryvY::Z:J: j:J:jysyZ:J:R:B:Zymy;::<:=:R:@J:Z:vYxIB:>::@J:ryvY::Z:j:@:>:=R:vYxIB:B:::jysyZ:J::@:::Zymy;::<:;::vYxIB:>::Zymy;::<:;::vYxIB:>::Zymy;::<:;::vYxIB:>:@:< :ryvY::Z:J:::yay=<:;R:B::xIyA::v;>::jysyZ:J:::xIyA::N[:J:::yay=<:;::ry vY::j<>:;::vYxIB:>::Zymy;::;Z:::vYxIB:>:R:B:ryvY::J:B:::yay=<:;::ryvY: :J:B:::yay=@Z:B:j:R:>Zymy;::;Z:::vYxIB:>:R:B:FZyyYyA::\\\\:B:::yay=@:< :@J:B:=j:djyyyyyI::<:;::jysyZBF:@Z:>Z;FZ:J:NZZ;>:<:J;dJQxyywY:N];Z:::jysyZiV:>:::xjPxyywY BDYb:B:::jysy:Y:;::Z;^ZI>^dN_fF_ZN[;F:>:::jysy::;:=R:B:::yay=RCCR:B:::=B:>:=:;:F;>: :jysy:f\\;B:<::::=:;:yI:>::jyyiy=jQDZ;>::=bCyI:>::jysy:j;@j::;::vYxI:B;=B:@J:>Z ::::=R:cryyqy=:;::vYxI:jDFZ:J:@J::=Z:>:=:AR:;::F:=R :=r:oryyqyC:>::jysy::jPLZ=FZ;Z:FZ;>Z;R:GRAyyyxIRE;Z:::yay=::rE=c:::::::::J?N:yyyxI:; Z::::::j;<:cB:>:NZ:vc::[LsfFaMR>@>Z::::::::kJ;:<::::::eB::>G;JQC:>:=j>r:ke>F:?D>;J:F;ve@gcLGcNwe]V:n=EJ:V[w_:Neiv_:NECD:oDKYC:LN\\w[:BKCC:v_:vWCD:YiPYC:YiPoD:YiPCE:YIS oD:YISCE:YiXCD:YQwPm:vwT`j:vwTPMYyeonqwOYihY?oG:YymoG:Y qawwiQUYyuYI:YixYI:Ny:Ny>^Z:Ny^^^:NYYC:oyEYB:oQLw[:NYCC:LN\\N yT_^:NYYC:oiPCD:oQgZ:^`:eK:w;]M:;;J:>bVJ\\K\\K:@Z:B:^Z>B:YB;CC:Yr=CkALjQ`JCF[b`CNGeS<=JwWYcPYQgdoq=JldoqOe^ww:^f^ww:^btww:Nitww :B[YI:CF[YI:oF[YQOYCDKoQLdOw=jQdOw_bTOYoL w=jQLPwOi^OYCdXoI:odXoI:oeXoQ\\LRw=JgLRw=JlLRwOi>PYCNwOiTPy:NmTPYoueoI :CveoI:oveoqQOy:NitPy:^jtPYofhoqQeUw=ZIQy:NQoqaOYYgpoI:ogpoqaeWwOuTQYY xuoI:oxuoQwOy:>:;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::vyyE:yyyxI:::::::::>Z:vYxI:::YsEYsyx I:::::;:xI::xlJZ>b;:yA::::;:xI:jPL:B:Z;B:j:B:;j:j;`Zyuy::jysy;jysy:L:@: ;B:::j:@JDryyI:::jysy;jysyjQD:B:@J:B::::vy:>Z:>::jyyiyA:yay=eJ :B::::F:>:vy:B:;::vyyuy;jysyRCZ:::F:>:=:;:F;:FZ;Z:::vYxY:Zy]:F:>::FZ:R:=R:=B:=:Z:>Z;>:<::jysy;B:ryv[:B:;:: Z;^ZI>^d:O:;J::::yayA:yayuEA:;::ZI:yA\\<Z;FZ:J:NZ:::yayA:ry@:<:@J:B:=j:djysy::B:Z :B:::yayA:yayU:B:j::;B:::yayA:yayE::<::jysy;jy sy:R:B:ryvY::J:B:::yayA:yayE::<::jysy;jysy::Zymy;: :E:;::vYxY:vYxi:B:;::ryvY::J?J:::yayA:yayE:::jysy;jysy::Zymy;::<:;::vYxY:vYxi:B:;::ryvY::Z :J:::yayA:yayE:::jysy;jysy:Z;Z:ryvY::Z:J:::yayA:yayE :::DJ::yayA:yayE:Z::xIyA::B:>:F:>:vYxY:vYxi:B:;::ryvY::Z:J:@j:@j:::=B::@:<:ryvY::Z:J::=:;jysy;jysy::Zy my;::<:=Z;J::;ryvY::Z:J:@::=R:@J:vYxY:vYxi:B:;::ryvY::Z:j:>:=B:=R:>Z:v?xY:vYxi: B:;::ryvY::Z:J:@:;B:=Z:>:Y[yA:yayE::=Z;>:Y[yA:yayE ::j:Z:v?xY:vYxi:B:;Z;Z::xIyA::B:>:j:F:;jQry;jysy Z;Z::ryvY::Z:J::@j:jQry;jysy:@ J:>Z::xIyA::B:F::jP:yayE:Z;Z:F::=B:=R:;jP:yayE:Z:> Zymy;::<:=R:=R::;B:U;vYxi:B:;::ryvY::Z:J:::U;vYxi:B:;::ryvY::Z:J:::S;v YxI:::::::::>:ry:::::::::J:Zy=:::::::::;:xI:::::::::>:ry:::::::::J:Zy= :::::::::;:xI:::::::::>:ry:::::::::J:Zy=:::::::::;:xI:::::::::>:ry:::: :::::J:Zy=:::::::::;:xI:RN]lb:::::vYxI:;:xI:RNFD:::::yay=J:Zy=:@?]<::: :bFxiy=J:Zy=:@?]<::::jysy:>:ry:ZKkb:ZlN`KkbJS@?]GJoh`isU[=ry:>:ry:::::::::J:Zy=:::::::::;:xI:::::::::>:ry::::Jt\\Ay yy:JvryvY:;:xI:keFf@yqy;bRFD?=xIJtH?@OkZy=;:xIJ_ZKKVryxIfEFD^Eyqy[rGD@ ?vYxI>:ryZlZK;^`ymy_A]lb:vYxI_;]EvY;:xIVBFD:HayUORN:ryNcKkb:Zymy?:ryJTjb:BQ bFRN:rV^E]lb:JSjy?:ryJTjb:BQbFRN:rVfEFD:ryvY;:xIn@FD:@@D=@?:XAK=]<:xIy Q:Zy=K=]:ryZnZ K;^DvY]eF]\\K;vYxIE=]:ry:m=@?q< yAVHFDDMrjy;k<@OSL?xI>:ry:::::::::J:Zy=:::::::::;:xI:::::::::>:ry::::: ::::J:Zy=:::rSFDm;xI:::>:ry::::@?]\\lvYxI:::>:ry::::@?]:ry:: ::M=]IFDnEyqy;: :J:Zy=:::bFRNDmysy:::J:Zy=:::Zi;xI:::J:Zy=:::::::::;:xI:::::::::>:ry:: :::::::J:Zy=:::::::::;J<>:IS:yq;<:;::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::fI>:::::2:" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 264 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 268 "" 0 "" {TEXT 268 8 "\301lgebra " }}{PARA 18 "" 0 "" {TEXT 269 10 "Pr\341ctica 1" }}{PARA 269 "" 0 "" {TEXT 270 27 "El m \351todo de Gauss-Jordan y" }{TEXT 361 1 " " }}{PARA 270 "" 0 "" {TEXT 360 30 "preliminares de \301lgebra Lineal" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 362 22 "Objetivos de la sesi\363n" }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Presentar al alumno las posibilidades de aplicaci \363n del programa Maple al \301lgebra Lineal." }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Que el alumno repase algunos de los conceptos b\341sicos del \301lgebra Lineal ya estudiados en cursos anteriores." }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 286 "Que el alumno repase y afiance su comprensi \363n del m\351todo de Gauss-Jordan para la resoluci\363n de un sistem a de ecuaciones lineales y utilice Maple para resolver por este m\351t odo varios sistemas de ecuaciones lineales. (En la pr\341ctica 3 se t ratar\341n los correspondientes m\351todos num\351ricos.)" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 364 0 "" }{TEXT 369 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 363 7 "Tiempos" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 440 "La duraci\363n de la pr\341ctica (incluida la evaluaci\363n) es d e dos horas. La primera hora (aproximadamente) se dedicar\341 al desa rrollo-estudio de los contenidos de los apartados \"Uso del Sistema Ma ple en \301lgebra Lineal\" y \"Lecci\363n y comandos de Maple necesari os,\" donde se introducen y repasan los conceptos y se muestran los co mandos de Maple precisos para el desarrollo de la pr\341ctica. La segu nda hora a la realizaci\363n del test de evaluaci\363n. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 365 43 "Como se debe realizar la siguiente pr\341ctica" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 210 "El presente gui\363n seguido con las i ndicaciones y observaciones del profesor contiene las instrucciones pr ecisas para realizar con el ordenador ejercicios sobre los contenidos \+ presentados en las clases te\363ricas." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 186 "Lo deseable, para que queden afianzadas las ideas y las nociones \+ b\341sicas sobre la sintaxis de Maple, es que se realicen prueba y nue vos ejemplos sobre la base de los ejemplos planteados." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Uso del Sistema Maple en \301lgebra Lineal" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 349 "En esta primera parte de la pr\341ctica \+ se recuerdan algunas caracter\355sticas y comandos de Maple y se descr iben a trav\351s de ejemplos algunos comandos del paquete \"linalg\" \+ \372tiles para el desarrollo de esta y otras pr\341cticas. As\355 pues el alumno deber\341 ejecutar dichos ejemplos y teclear\341 otros que \+ le permitan comprender la aplicaci\363n de dichos comandos." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 160 "Maple es un Sistema de Computaci\363n Matem\341tica (abr eviadamente S.C.M.) que permite realizar c\341lculos num\351ricos, man ipular expresiones simb\363licas y crear nuevos " }{TEXT 262 14 "proc edimientos" }{TEXT -1 145 ", entendiendo por \351stos una secuencia de instrucciones, sentencias y funciones cuyo objetivo es resolver o rea lizar una determinada aplicaci\363n. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 329 "A este respecto es importante se\361alar que, adem\341s del n\372 cleo de Maple que incorpora ciertas funciones y comandos de uso corrie nte, y que se carga autom\341ticamente al arrancar el sistema, el sist ema Maple tiene una biblioteca compuesta de librer\355as. En las libre r\355as residen las funciones que realizan tareas matem\341ticas compl ejas." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Para trabajar con las funciones \+ y/o los procedimientos de una de estas" }{TEXT 263 1 " " }{TEXT -1 42 "librer\355as, es preciso utilizar el comando " }{TEXT 265 4 "with" } {TEXT -1 49 ". As\355 por ejemplo, para trabajar con la librer\355a " }{TEXT 264 6 "linalg" }{TEXT -1 15 ", escribiremos:" }}{PARA 263 "" 0 "" {TEXT 266 13 "with(linalg);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 "Para e jecutar ese comando, colocaremos el cursor tras el \";\" y pulsaremos \+ la tecla \"intro\". Al ejecutar ese comando aparece una lista con las \+ funciones y procedimientos accesibles en esa librer\355a." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 191 "Si se quiere trabajar con una librer\355a de Maple sin q ue aparezca la lista con las funciones y procedimientos accesibles en \+ ella, basta con utilizar \":\" en vez de \";\" despu\351s del comando \+ with(" }{TEXT 293 15 "nombre_librer\355a" }{TEXT -1 15 "). Por ejemplo :" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 351 "Teniendo en cuen ta que, al menos para la mayor\355a de vosotros, \351ste no es el prim er curso en el que habeis tenido contacto con Sistemas de Computaci \363n Matem\341tica, vamos a dedicar la primera parte de la sesi\363n \+ a recordar algunos elementos de la sintaxis de Maple y a familiarizar nos con el tipo de problemas en el que podemos emplear esta herramient a." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 186 "Ma ple es una herramienta \372til para manipular f\363rmulas, ecuaciones \+ y datos. La siguiente sesi\363n est\341 preparada como sesi\363n intro ductoria al manejo de Maple en el marco del \301lgebra Lineal." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 4 "" 0 "" {TEXT 294 42 "\301LGEB RA LINEAL Y MANIPULACI\323N DE MATRICES." }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 257 42 "Llamamos al paquete utilizando el comando " }{TEXT 271 13 "wit h(linalg):" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart;with(linalg):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 292 98 "Obs\351rvese \+ que los avisos que aparecen en pantalla son \"outputs\" normales y no \+ indican un problema." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 258 0 "" }{TEXT -1 0 "" }{TEXT 259 100 "Definamos una matriz cuadrada A, de dim ensi\363n 3, con caracteres alfanum\351ricos utilizando el comando " } {TEXT 272 8 "matrix()" }{TEXT 273 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "A:= matrix([[1,-alpha,2/3],[-1,0,1],[beta/3,2,-1]]); " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Para obtener la matriz anterior, se \+ puede utilizar tambi\351n la sintaxis" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "A:= matrix(3,3,[1,-alpha,2/3,-1,0,1,beta/3,2,-1]);" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 172 "Es tambi\351n posible definir una matr iz A como una funci\363n de los pares ordenados de \355ndices (i,j), e xpresando cada coeficiente A[i,j] en funci\363n de los valores de i y \+ de j. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "As\355 la matriz identidad " } {XPPEDIT 18 0 "I[6];" "6#&%\"IG6#\"\"'" }{TEXT -1 98 " de dimensi\363n 6 se puede definir como una funci\363n con dominio igual a \{1,2,3,4, 5,6\}x\{1,2,3,4,5,6\}:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "Id :=(i,j)-> if i=j then 1 else 0;fi;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "I6:=matrix(6,6,Id);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }{TEXT 295 13 "Obtenemos la " }{TEXT 296 14 "traspuesta de " }{TEXT 297 2 "A:" }}{EXCHG {PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "transpose(A); " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 298 14 "Calculamos su " } {TEXT 299 12 "determinante" }{TEXT 300 13 " (simb\363lico):" }}{EXCHG {PARA 258 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "det(A);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 301 14 "Calculamos su " }{TEXT 302 7 "inversa" }{TEXT 303 1 ":" }}{EXCHG {PARA 259 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "inverse(A);" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 304 39 "Ahora definimos una mat riz num\351rica B:" }}{EXCHG {PARA 260 "" 0 "" {TEXT 260 0 "" } {MPLTEXT 1 0 37 "B:= matrix(3,2,[[1,2],[1,1],[-1,0]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Para obtener el " }{TEXT 308 17 "coeficiente (i,j)" }{TEXT -1 59 " de una matriz B, se utilza el comando B[i,j], por ejemp lo:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "B[3,1];" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 305 19 "Tambi\351n es posible " }{TEXT 306 11 "multiplicar" }{TEXT 307 37 " matrices. Por ejemplo, sea C = \+ AB:" }}{EXCHG {PARA 261 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "C:= multiply(A,B); " }}}{PARA 262 "" 0 "" {TEXT 261 70 "Para c\341lculos m\341s complicad os con expresiones matriciales, la funci\363n " }{TEXT 274 7 "evalm() " }{TEXT 275 79 " permite utilizar una notaci\363n m\341s natural. Obs erv\351se que el operador especial " }{TEXT 278 1 "\"" }{TEXT 276 2 "& *" }{TEXT 277 1 "\"" }{TEXT 279 11 " denota el " }{TEXT 285 29 "produc to habitual de matrices" }{TEXT 286 27 ", mientras que el operador " } {TEXT 280 3 "\"*\"" }{TEXT 281 11 " denota la " }{TEXT 287 28 "multipl icaci\363n por escalares" }{TEXT 288 43 ". El siguiente ejemplo calcul a AB-(1/3)*C:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "evalm(A &* B - 1/3*C);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 149 "Finalmente, los sistema s de ecuaciones lineales tambi\351n pueden ser resueltos utilizando su representaci\363n matricial. En ese caso se emplea el comando" } {TEXT 267 13 "linsolve(A,B)" }{TEXT -1 81 ", entendi\351ndose entonces que lo que se est\341 resolviendo es la ecuaci\363n matricial " } {XPPEDIT 18 0 "A*X=B" "6#/*&%\"AG\"\"\"%\"XGF&%\"BG" }{TEXT -1 15 ". P or ejemplo: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "A:= matrix([ [2,2,2],[1,1,0],[-1,0,1]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "B:=matrix([[3],[2],[1]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "X:=linsolve(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " #Pulsa return" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 252 "Para finalizar esta parte de la pr\341ctica, vamos a ver c\363mo se puede utilizar Maple para obtener la representaci\363n gr \341fica de los sistemas de ecuaciones con tres inc\363gnitas mediante los planos determinados por cada una de las ecuaciones que lo compone n." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "Con sideremos ahora el sistema " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } {XPPEDIT 18 0 "2*x+y+z = 1;" "6#/,(*&\"\"#\"\"\"%\"xGF'F'%\"yGF'%\"zGF 'F'" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "2*x+y+z = 5;" "6# /,(*&\"\"#\"\"\"%\"xGF'F'%\"yGF'%\"zGF'\"\"&" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "3*x-y-z = 0;" "6#/,(*&\"\"$\"\"\"%\"xGF'F'%\"yG!\"\"%\" zGF*\"\"!" }{TEXT -1 1 "," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "que podemos \+ escribir como una lista de tres ecuaciones lineales:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "Sistema:=[2*x+y+z = 1,2*x+y+z = 5, 3*x-y- z = 0];" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Expresando en cada ecuaci\363 n la variable " }{XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 44 " explicita mente en funci\363n de las variables " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "y;" "6#%\"yG" }{TEXT -1 37 ", se obti ene el sistema de ecuaciones" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "z = 1-2 *x-y;" "6#/%\"zG,(\"\"\"F&*&\"\"#F&%\"xGF&!\"\"%\"yGF*" }{TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "z = 5-2*x-y;" "6#/%\"zG,(\"\"&\"\" \"*&\"\"#F'%\"xGF'!\"\"%\"yGF+" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "z = 3*x-y;" "6#/%\"zG,&*&\"\"$\"\"\"%\"xGF(F(%\"yG!\"\" " }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Maple contiene el coma ndo " }{TEXT 309 28 "isolate(ecuaci\363n, expresi\363n)" }{TEXT -1 16 " en la librer\355a " }{TEXT 310 7 "isolate" }{TEXT -1 1 "," }{TEXT 312 1 " " }{TEXT -1 61 "que nos permite escribir las ecuaciones en est a \372ltima forma:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "readli b(isolate):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 75 "Sistz:=\{iso late(Sistema[1],z),isolate(Sistema[2],z),isolate(Sistema[3],z)\};" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Si queremos representar las tres ecuacion es en una \372nica gr\341fica, se puede utilizar el comando " }{TEXT 311 6 "plot3d" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "plot3d(\{1-2*x-y,5-2*x-y,3*x-y\},x=-10..10,y=-10..10);" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 313 6 "Nota: " }{TEXT -1 241 "Si se pincha con e l cursor la gr\341fica obtenida, aparecen nuevos botones en la barra \+ de herramientas y pod\351is explorara que acciones se corresponden. Ta mbi\351n, se puede arrastrar el cursor en el \341rea de la gr\341fica \+ para cambiar de perspectiva." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 125 "Con la representaci\363n gr\341fica de los pla nos anteriores a la vista, \277es compatible el sistema de ecuaciones \+ lineales anterior?" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 123 "Tambi\351n es posible repres entar los planos directamente utilizando las ecuaciones originales del sistema (donde la variable " }{XPPEDIT 18 0 "z;" "6#%\"zG" }{TEXT -1 25 " depende de la variables " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "y;" "6#%\"yG" }{TEXT -1 79 " de forma impl \355cita) y un comando especial que requiere del uso de la librer\355a " }{TEXT 282 5 "plots" }{TEXT -1 32 ". Para ello usaremos el comando \+ " }{TEXT 289 12 "with(plots):" }{TEXT -1 224 " (recordamos que los dos puntos al final de la \"l\355nea de input de comandos\" tienen el mis mo efecto que el punto y coma pero no \"producen eco\", es decir, el s istema ejecuta la operaci\363n pero no da una respuesta en pantalla). \+ " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 "implicitplot3d(\{2*x+y+z = 1, 2*x+y +z = 5,3*x-y-z = 0\},x=-10..10,y=-10..10, z=-40..40);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 170 "Para irnos familiarizando con algunos comandos que se em plear\341n en las siguientes pr\341cticas, tras la definici\363n de lo s correspondientes vectores, utilizaremos el comando " }{TEXT 283 7 "d otprod" }{TEXT -1 42 " (producto escalar usual) para definir la " } {TEXT 291 9 "longitud " }{TEXT -1 43 "(la norma) de un vector gen\351r ico (en Maple " }{TEXT 314 4 "sqrt" }{TEXT -1 16 "=ra\355z cuadrada). " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "u:=vector([1,2,3]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "v:=vector([2,5,7]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "dotprod(u,v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "longitud:=x->sqrt(dotprod(x,x));" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "longitud(u);" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 26 "Podemos ahora calcular la " }{TEXT 290 21 "proyecc i\363n ortogonal " }{TEXT -1 37 "de u sobre v, utilizando la f\363rmul a :" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "evalm((dotprod(u,v)/d otprod(v,v))*v);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa \+ return" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Lecci\363n" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 " Introducci\363n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 319 "En la secci\363n anterior se ha visto, entre otras cosas , c\363mo se pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales, invertir matrices y calcular el valor de determinantes. Vamos ahora a utilizar Maple para aplicar los m\351todos de reducci\363n de matrices por med io de transformaciones elementales vistos en las clases te\363ricas." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "Como hemos visto, Maple tiene implementada en la librer\355a " }{TEXT 366 6 "linalg" } {TEXT -1 78 " un comando para resolver sistemas de ecuaciones lineales , siendo su sintaxis " }{XPPEDIT 18 0 "linsolve(A,B);" "6#-%)linsolveG 6$%\"AG%\"BG" }{TEXT -1 8 ", donde " }{TEXT 367 1 "A" }{TEXT -1 32 " e s la matriz de coeficientes y " }{TEXT 368 1 "B" }{TEXT -1 86 " es la \+ matriz de los t\351rminos independientes (y por consiguiente una matri z columna). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 287 "El objetivo de este apartado es exponer con claridad cuales so n las herramientas b\341sicas que configuran los m\351todos de elimina ci\363n gaussiana y de Gauss-Jordan, al margen de que el uso del coman do linsolve permita resolver sistemas de ecuaciones sin saber realment e c\363mo se est\341 haciendo." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {TEXT 315 54 "Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "En general, si consideramos un sistema \+ de ecuaciones lineales de la forma:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "a[11]*x[1]+a[12]*x[2]" "6#,&*&&%\"aG6#\"#6\"\"\"&%\" xG6#F)F)F)*&&F&6#\"#7F)&F+6#\"\"#F)F)" }{TEXT -1 6 "+....+" }{XPPEDIT 18 0 "a[1n]*x[n]=b[1]" "6#/*&&%\"aG6#*&\"\"\"F)%\"nGF)F)&%\"xG6#F*F)&% \"bG6#F)" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 " " } {XPPEDIT 18 0 "a[21]*x[1]+a[22]*x[2]" "6#,&*&&%\"aG6#\"#@\"\"\"&%\"xG6 #F)F)F)*&&F&6#\"#AF)&F+6#\"\"#F)F)" }{TEXT -1 6 "+....+" }{XPPEDIT 18 0 "a[2n]*x[n]=b[2]" "6#/*&&%\"aG6#*&\"\"#\"\"\"%\"nGF*F*&%\"xG6#F+F*&% \"bG6#F)" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 " ....." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 " " }{XPPEDIT 18 0 "a[m1]*x[1]+a[m2]*x[2] " "6#,&*&&%\"aG6#%#m1G\"\"\"&%\"xG6#F)F)F)*&&F&6#%#m2GF)&F+6#\"\"#F)F) " }{TEXT -1 6 "+....+" }{XPPEDIT 18 0 "a[mn]*x[n] = b[m];" "6#/*&&%\"a G6#%#mnG\"\"\"&%\"xG6#%\"nGF)&%\"bG6#%\"mG" }{TEXT -1 1 "," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "es posible plantearlo en la forma matricial " } {XPPEDIT 18 0 " A*X=B" "6#/*&%\"AG\"\"\"%\"XGF&%\"BG" }{TEXT -1 2 ": \+ " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "A:=matrix(3,4,(i,j)->a[i ,j]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "B:=matrix(3,1,(i,j )->b[i]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "X:=matrix(4,1, (i,j)->x[i]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "evalm(A&*X )=evalm(B);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "y trabajar directamente c on la matriz ampliada de dicho sistema " }{XPPEDIT 18 0 "A[m]" "6#&% \"AG6#%\"mG" }{TEXT -1 32 " = (A|B), utilizando el comando " }{TEXT 256 6 "concat" }{TEXT -1 1 ":" }{TEXT 284 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "Am:=concat(A,B);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 316 9 "Ejemplo 1" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 317 0 "" }{TEXT -1 16 "Dado el sistema " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "x[1]+x[2]+x[3] = 1" "6#/,(&%\"xG6#\"\"\"F(&F&6# \"\"#F(&F&6#\"\"$F(F(" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "2*x[1]-2*x[2]+x[3]=2" "6#/,(*&\"\"#\"\"\"&%\"xG6#F'F'F'*&F&F'&F)6#F &F'!\"\"&F)6#\"\"$F'F&" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "3*x[1]+3*x[2]+3*x[3]=3" "6#/,(*&\"\"$\"\"\"&%\"xG6#F'F'F'*&F&F'& F)6#\"\"#F'F'*&F&F'&F)6#F&F'F'F&" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "S:=\{x[1]+x[2]+x[3] = 1, 2*x[1]-2*x[2]+x[3] = 2, 3*x[1]+3*x[2] +3*x[3] = 3\};" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 " su matriz ampliada as ociada " }{XPPEDIT 18 0 "A[m]" "6#&%\"AG6#%\"mG" }{TEXT -1 8 " ser\355 a " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "Am:=matrix([[1, 1, 1, 1], [2, -2, 1, 2], [3, 3, 3, 3]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "L a matriz " }{XPPEDIT 18 0 "A[m]" "6#&%\"AG6#%\"mG" }{TEXT -1 48 " se p uede tambi\351n definir utilizando el comando " }{TEXT 318 17 "coeffs( polinomio)" }{TEXT -1 81 ", que permite crear la lista de los coeficie ntes de las variables de un polinomio" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "coeffs(x[1]+x[2]+x[3]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "coeffs(2*x[1]-2*x[2]+x[3]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "coeffs(3*x[1]+3*x[2]+3*x[3]);" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 20 "y creando la matriz " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" } {TEXT -1 27 " asociada a nuestro sistema" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 98 "A:=matrix([[coeffs(x[1]+x[2]+x[3])],[coeffs(2*x[1]-2* x[2]+x[3])],[coeffs(3*x[1]+3*x[2]+3*x[3])]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "La matriz ampliada " }{XPPEDIT 18 0 "A[m]" "6#&%\"AG6#%\" mG" }{TEXT -1 2 "=(" }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 1 "|" } {XPPEDIT 18 0 "B;" "6#%\"BG" }{TEXT -1 4 ") es" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "B:=matrix(3,1,[1,2,3]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "Am:=concat(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 34 " Compatibilidad e incompatibilidad" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 152 "Pa ra determinar si un sistema es compatible o no, y resolverlo en su cas o por el m\351todo de eliminaci\363n gaussiana o por el de Gauss-Jorda n, realizaremos " }{TEXT 325 38 "transformaciones elementales por fila s" }{TEXT -1 119 " (intercambiar filas, multiplicar filas por un n\372 mero distinto de cero, sumar o restar filas) sobre la matriz ampliada \+ " }{XPPEDIT 18 0 "A[m]" "6#&%\"AG6#%\"mG" }{TEXT -1 115 ", lo que equi vale a realizar las mismas operaciones sobre las ecuaciones que repres entan dichas filas. En s\355mbolos:" }}{PARA 266 "" 0 "" {TEXT -1 2 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "A[m]" "6#&%\"AG6#%\"mG" }{TEXT -1 3 " ->" } {XPPEDIT 18 0 "A[m](t[1])" "6#-&%\"AG6#%\"mG6#&%\"tG6#\"\"\"" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 319 8 "->...-> " }{XPPEDIT 18 0 "A[m](t[r])" "6#-&%\"A G6#%\"mG6#&%\"tG6#%\"rG" }{TEXT 320 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "donde " }{XPPEDIT 18 0 "A[m](t[i])" "6#-&%\"AG6#%\"mG6#&%\"tG6#%\"i G" }{TEXT -1 47 " es el resultado de aplicar la transformaci\363n " } {XPPEDIT 18 0 "t[i]" "6#&%\"tG6#%\"iG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "1 <= i;" "6#1\"\"\"%\"iG" }{TEXT -1 15 ", a la matriz " }{XPPEDIT 18 0 "A[m](t[i-1])" "6#-&%\"AG6#%\"mG6#&%\"tG6#,&%\"iG\"\"\"F.!\"\"" } {TEXT -1 15 " (notar que " }{XPPEDIT 18 0 "A[m]" "6#&%\"AG6#%\"mG" }{TEXT -1 2 " =" }{XPPEDIT 18 0 "A[m](t[0]);" "6#-&%\"AG6#%\"mG6#&%\"t G6#\"\"!" }{TEXT -1 25 " es la matriz original). " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Para el m\351todo de eliminaci\363n \+ gaussiana" }{TEXT 321 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "A[m](t[r])" "6#-&%\"AG6#% \"mG6#&%\"tG6#%\"rG" }{TEXT -1 27 " tendr\341 que estar en forma " } {TEXT 326 10 "escalonada" }{TEXT -1 12 " del tipo: " }}{EXCHG {PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "A[m](t[r]) := MATRIX([[1, g amma[12], %?, %?, %?, gamma[1*n], delta[1]], [0, 1, gamma[23], %?, %?, gamma[2*n], delta[2]], [0, 0, 1, gamma[34], %?, %?, delta[3]], [0, 0, 0, %?, %?, %?, %?], [0, 0, 0, %?, %?, gamma[rn], delta[r]], [0, 0, 0, 0, 0, 0, delta[r+1]], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]]); " "6#>-&%\"AG6#%\"mG6#&%\"tG6#%\"rG-%'MATRIXG6#7*7)\"\"\"&%&gammaG6#\" #7%#%?GF8F8&F56#*&F3F3%\"nGF3&%&deltaG6#F37)\"\"!F3&F56#\"#BF8F8&F56#* &\"\"#F3F6#FH7)FAFAF3&F56#\"#MF8F8&F>6#\"\"$7)FAFAFAF8F8F8F87)FA FAFAF8F8&F56#%#rnG&F>6#F-7)FAFAFAFAFAFA&F>6#,&F-F3F3F37)FAFAFAFAFAFAFA 7)FAFAFAFAFAFAFA" }{TEXT -1 0 "" }{MPLTEXT 1 0 1 " " }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 19 "donde las primeras " }{XPPEDIT 18 0 "r;" "6#%\"rG" } {TEXT -1 61 " filas contienen los unos principales que corresponden a \+ las " }{TEXT 352 21 "variables principales" }{TEXT -1 13 " del sistema ." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}} {PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Seg\372n vimos, si " }{XPPEDIT 18 0 "de lta[r+1]" "6#&%&deltaG6#,&%\"rG\"\"\"F(F(" }{TEXT -1 34 " es distinto \+ de cero el sistema es" }{TEXT 353 13 " incompatible" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Por otra parte, si " }{XPPEDIT 18 0 "d elta[r+1]=0 " "6#/&%&deltaG6#,&%\"rG\"\"\"F)F)\"\"!" }{TEXT -1 5 " y \+ " }{XPPEDIT 18 0 "r=n" "6#/%\"rG%\"nG" }{TEXT -1 12 ", entonces " } {XPPEDIT 18 0 "gamma[rn]" "6#&%&gammaG6#%#rnG" }{TEXT -1 20 "=1 y el \+ sistema es " }{TEXT 324 22 "compatible determinado" }{TEXT -1 152 " y \+ se puede resolver o bien con el m\351todo de Gauss-Jordan (realizando \+ transformaciones elementales por filas hasta que la matriz obtenida es t\351 en forma " }{TEXT 327 19 "escalonada reducida" }{TEXT -1 14 "), \+ o bien por " }{TEXT 328 23 "sustituci\363n hacia atr\341s" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Por ejemplo, est\341 claro que \+ con la representaci\363n establecida para los sistemas de ecuaciones l ineales, el sistema correspondiente a la matriz " }{XPPEDIT 18 0 "MA TRIX([[1,0 ,0, 5], [0, 1, 0, 3], [0, 0, 1, -2]])" "6#-%'MATRIXG6#7%7& \"\"\"\"\"!F)\"\"&7&F)F(F)\"\"$7&F)F)F(,$\"\"#!\"\"" }{TEXT -1 25 " , \+ tendr\355a como soluci\363n " }{XPPEDIT 18 0 "x[1]=5, x[2]=3, x[3]=-2 " "6%/&%\"xG6#\"\"\"\"\"&/&F%6#\"\"#\"\"$/&F%6#F-,$F,!\"\"" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Finalmente, si " }{XPPEDIT 18 0 "delta[r+1]=0 " "6#/&%&deltaG6#,&%\"rG\"\"\"F)F)\"\"!" }{TEXT -1 196 " y r " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 3 " " }{XPPEDIT 18 0 "1*x[1]+gamma[12]*x[2];" "6#,&* &\"\"\"F%&%\"xG6#F%F%F%*&&%&gammaG6#\"#7F%&F'6#\"\"#F%F%" }{TEXT -1 6 "+....+" }{XPPEDIT 18 0 "gamma[1r]*x[r]=delta[1]-gamma[1r+1]*x[r+1]" " 6#/*&&%&gammaG6#*&\"\"\"F)%\"rGF)F)&%\"xG6#F*F),&&%&deltaG6#F)F)*&&F&6 #,&*&F)F)F*F)F)F)F)F)&F,6#,&F*F)F)F)F)!\"\"" }{TEXT -1 6 " -...-" } {XPPEDIT 18 0 "gamma[1n]*x[n]" "6#*&&%&gammaG6#*&\"\"\"F(%\"nGF(F(&%\" xG6#F)F(" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 " ....." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 38 " " }{XPPEDIT 18 0 "1*x[r] = delta[r]-gamma[rr+1]*x[r+1];" "6#/*&\"\"\"F%&%\"xG6#%\"rGF%, &&%&deltaG6#F)F%*&&%&gammaG6#,&%#rrGF%F%F%F%&F'6#,&F)F%F%F%F%!\"\"" } {TEXT -1 6 " -...-" }{XPPEDIT 18 0 "gamma[rn]*x[n]" "6#*&&%&gammaG6#%# rnG\"\"\"&%\"xG6#%\"nGF(" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 171 "obteniendo as\355 un sistema que se puede resolve r, como en el caso anterior, o bien realizando transformaciones elemen tales por filas sobre la matriz ampliada hasta que las " }{TEXT 323 1 "r" }{TEXT -1 100 " primeras columnas de la matriz considerada (es dec ir, todas menos la \372ltima) sean las de la matriz " }{XPPEDIT 18 0 " I[r ]" "6#&%\"IG6#%\"rG" }{TEXT -1 38 ", o bien por sustituci\363n h acia atr\341s. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa re turn" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 329 9 " Ejemplo 2" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "En el Ejemplo 1, hallamos la matriz ampliada " }{XPPEDIT 18 0 "A[m];" "6#&%\"AG6#%\"mG" }{TEXT -1 20 " asociada al sistema" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "x[1]+x[2]+x[3] = 1" "6#/,(&%\"xG6#\"\"\"F(&F&6#\"\"#F(&F&6#\" \"$F(F(" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "2*x[1]-2*x[2]+x[3]=2" "6#/,( *&\"\"#\"\"\"&%\"xG6#F'F'F'*&F&F'&F)6#F&F'!\"\"&F)6#\"\"$F'F&" }} {PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "3*x[1]+3*x[2]+3*x[3]=3" "6#/,(*&\"\"$\" \"\"&%\"xG6#F'F'F'*&F&F'&F)6#\"\"#F'F'*&F&F'&F)6#F&F'F'F&" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "Am:=concat(A,B);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "que , sometida a oportunas transformaci\363n elementales por filas, dar \355a lugar a " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "matrix( [[1, 1, 1, 1], [0, 1, 1/4, 0], [0, 0, 0, 0]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "por lo que deber\355amos pasar al sistema" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "x[1]+x[2] = 1-x[3]" "6#/,&&%\"xG 6#\"\"\"F(&F&6#\"\"#F(,&F(F(&F&6#\"\"$!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "x[2] = -x[3]/4;" "6#/&%\"xG6#\"\"#,$*&&F%6# \"\"$\"\"\"\"\"%!\"\"F/" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "con su corresp ondiente matriz asociada" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 " matrix([[1, 1, 1-x[3]], [0, 1, -x[3]/4]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Para calcular las soluciones, podemos sustituir " }{XPPEDIT 18 0 "x[2] = -x[3]/4" "6#/&%\"xG6#\"\"#,$*&&F%6#\"\"$\"\"\"\"\"%!\"\"F/" }{TEXT -1 16 " en la ecuaci\363n " }{XPPEDIT 18 0 "x[1]+x[2] = 1-x[3] " "6#/,&&%\"xG6#\"\"\"F(&F&6#\"\"#F(,&F(F(&F&6#\"\"$!\"\"" }{TEXT -1 55 ", o escribir la matriz en su forma escalonada reducida:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "matrix([[1, 0, 1-x[3]+1/4*x[3]], [0 , 1, -1/4*x[3]]]);" }}}{PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 330 0 "" } }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 49 " Transformaciones elementales p or filas con Maple" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Dada una matriz " } {XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 64 "A:=matrix([[1,1,1,-1,1],[2,-2,1,2,0],[3,3,3,3,1],[1 ,0,-3,4,5]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "los comandos de Maple \+ que corresponden a las transformaciones elementales por filas sobre la matriz " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 20 " son los siguien tes:" }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 5 "para " }{TEXT 338 22 "intercambia r las filas" }{TEXT 333 1 " " }{TEXT 322 1 "i" }{TEXT 339 1 " " } {TEXT 354 1 "y" }{TEXT 355 1 " " }{TEXT 334 1 "j" }{TEXT 340 1 " " } {TEXT -1 21 "se emplea el comando " }{TEXT 341 16 "swaprow(A, i, j)" } {TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "swaprow(A,1 ,2);" }}}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 11 "el comando " }{TEXT 332 15 "mul row(A, i, k)" }{TEXT -1 9 " permite " }{TEXT 331 38 "multiplicar una f ila i por un n\372mero k" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 356 18 "(distinto de \+ cero)" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "mul row(A,1,24);" }}}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 5 "para " }{TEXT 342 15 "su mar a la fila" }{TEXT 357 1 " " }{TEXT 335 1 "j" }{TEXT 343 1 " " } {TEXT 358 38 "la fila i multiplicada por un n\372mero k" }{TEXT -1 22 " se emplea el comando " }{TEXT 344 18 "addrow(A, i, j, k)" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "addrow(A,1,3,-3);" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "En algu nos casos puede resultar conveniente \"personalizar\" los comandos. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "Por ejemplo, si definimos la funci\363n \"filapor\" en el siguiente modo:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "filapor:=(i,k)->mulrow(A,i,k);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "la funci\363n as\355 definida multiplica la fila i-\351si ma de " }{TEXT 370 1 "A" }{TEXT -1 7 " por k." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "filapor(1,24);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 153 "Cuando los sistemas resulten compati bles indeterminados, pueden resultar \372tiles los siguientes comandos (el primero multiplica una columna por un n\372mero " }{XPPEDIT 18 0 "k;" "6#%\"kG" }{TEXT -1 74 "distinto de cero, el segundo elimina fila s y el tercero elimina columnas):" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "mulcol(A,1,k);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "delrows(A,1..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "delcols(A,3..4);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Finalmente la funci\363n" }{TEXT 347 6 " pivot" }{TEXT -1 22 ", que tiene la forma " }{TEXT 346 14 "pivot(A, i, j)" }{TEXT -1 174 ", devuelve una nueva matriz en la que en todos los elementos d e la columna j se han convertido en ceros (por medio de transformacion es elementales), a excepci\363n del elemento " }{XPPEDIT 18 0 "a[ij]" "6#&%\"aG6#%#ijG" }{TEXT -1 76 " de dicha matriz, que es el que se ha \+ utilizado como pivote. Si el elemento " }{XPPEDIT 18 0 "a[ij]" "6#&%\" aG6#%#ijG" }{TEXT -1 68 "es nulo, al aplicar el comando pivot se obtie ne un mensaje de error:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "p ivot(A,2,3);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "A[2,5];pivo t(A,2,5);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 119 "Si se quiere que se conver tan en ceros s\363lo los elementos de la columna j que pertenecen a fi las inferiores a la fila i" }{TEXT 336 2 ", " }{TEXT -1 11 "se utiliza " }{TEXT 345 20 "pivot(A, i, j, r..s)" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "pivot(A,2,3,3..4);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "La funci\363n " }{TEXT 348 9 "gausselim" }{TEXT -1 95 " reduce una matriz a su forma escalonada (sin que los coeficientes principales sean igual a 1):" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "gausselim(Am);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "La funci\363n " }{TEXT 349 9 "gaussjord" }{TEXT -1 50 " reduce una matriz a su forma e scalonada reducida:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "gauss jord(Am);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 114 "En todo caso, como ya hemo s comentado, la funci\363n que resuelve de forma directa el sistema de ecuaciones lineales " }{XPPEDIT 18 0 "A*X=B" "6#/*&%\"AG\"\"\"%\"XGF& %\"BG" }{TEXT -1 4 " es " }{XPPEDIT 18 0 "linsolve(A,B" "6#-%)linsolve G6$%\"AG%\"BG" }{TEXT -1 69 ", que b\341sicamente realiza secuencialme nte las operaciones descritas. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Por e jemplo, el sistema de ecuaciones de los ejemplos 1 y 2 anteriores lo r esolver\355amos del siguiente modo: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "A:=matrix([[1,1,1],[2,-2,1],[3,3,3]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "B:=matrix([[1],[2],[3]]);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "linsolve(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#Pulsa return" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "Los comandos vistos tambi\351n \+ pueden ser utilizados para trabajar con " }{TEXT 350 49 "sistemas de e cuaciones dependientes de par\341metros" }{TEXT -1 19 ", pero en ese c aso " }{TEXT 351 21 "hay que tener cuidado" }{TEXT -1 229 ", pues el t ipo de simplificaci\363n que, por ejemplo, efect\372a el comando gauss jord no permite resolver el problema teniendo en cuenta todos los posi bles valores de los par\341metros, como se puede ver en el siguiente e jercicio-ejemplo:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 359 9 "Ejemplo 3" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "Encontrar los \+ valores de a, b y c que hacen que el siguiente sistema de ecuaciones \+ sea incompatible:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "2*x[1]+x[2]+3*x[3]+5*x[4] = a;" "6#/,**& \"\"#\"\"\"&%\"xG6#F'F'F'&F)6#F&F'*&\"\"$F'&F)6#F.F'F'*&\"\"&F'&F)6#\" \"%F'F'%\"aG" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "3*x[1]+2*x[2]-x[3]+4*x[ 4] = b;" "6#/,**&\"\"$\"\"\"&%\"xG6#F'F'F'*&\"\"#F'&F)6#F,F'F'&F)6#F&! \"\"*&\"\"%F'&F)6#F3F'F'%\"bG" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "3*x[1] +x[2]+10*x[3]+11*x[4] = c;" "6#/,**&\"\"$\"\"\"&%\"xG6#F'F'F'&F)6#\"\" #F'*&\"#5F'&F)6#F&F'F'*&\"#6F'&F)6#\"\"%F'F'%\"cG" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "A:=matrix(3, 5,[2,1,3,5,a,3,2,-1,4,b,3,1,10,11,c]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "gaussjord(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "gausselim(A);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Como se puede ver, al emplear gaussjord, el sistema \+ ha trabajado con las variables a, b y c " }{TEXT 337 39 "sin distingui r entre los posibles casos" }{TEXT -1 59 ", de manera que los par\341m etros han desaparecido (\277porqu\351?)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 144 "Sin embargo, en este caso, al emplear gausselim podemos extraer f acilmente los valores de a, b y c que hacen el sistema incompatible ( \277porqu\351?)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "#fin" }}} }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{MARK "2 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }