Para el curso 2010-11, la evaluación de la asignatura se hará, mediante la realización de un examen final, en las dos convocatorias oficiales de Abril-Mayo y Junio. El material de la asignatura será exactamente igual que el del curso 2009-10.
Profesores de la asignatura
Julio Flores Álvarez
Despacho 033 (edificio departamental II) Tfno. 91 488 81 45
Dirección electrónica: julio.flores (en el
dominio @urjc.es)
Luis E. Solá Conde
Despacho 006 (edificio departamental II) Tfno. 91 488 82 31
Dirección electrónica: luis.sola (en el dominio
@urjc.es)
La asignatura Fundamentos
Matemáticos de la Ingeniería es la única materia propia del área de
Matemática Aplicada en la Ingeniería Técnica Industrial en la Universidad Rey
Juan Carlos, según los planes de estudio publicados en el B.O.E.
del 23 de junio de 1998. Dichos planes prevén un total de 15 créditos de
docencia (9 teóricos + 6 prácticos) y establecen los siguientes descriptores de
la asignatura: Álgebra Lineal, Cálculo Infinitesimal, Ecuaciones
Diferenciales y Cálculo Numérico.
En función de los descriptores
anteriores se han establecido los siguientes objetivos de carácter general:
Conocer la estructura de espacio vectorial.
Conocer el concepto de aplicación lineal.
Conocer y aplicar las principales técnicas de cálculo
matricial.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales
mediante métodos directos e iterativos.
Conocer la estructura de espacio euclídeo.
Conocer y manejar las estructuras elementales
del espacio geométrico tridimensional.
Conocer y aplicar los principales resultados del
cálculo diferencial de funciones de una y varias variables.
Conocer y aplicar los principales resultados del
cálculo integral clásico de funciones de una y varias variables.
Resolver integrales curvilíneas y de superficie
y conocer y saber aplicar los teoremas integrales del cálculo vectorial.
Conocer los conceptos fundamentales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicar los
métodos de resolución de las más sencillas.
Conocer y aplicar métodos de interpolación,
integración numérica y derivación numérica.
Funciones de una
variable real
Números reales y complejos. Números naturales. Números enteros. Números
racionales. Números irracionales. Concepto de número real. Números
complejos. Representación de los números complejos. Aritmética compleja.
Ejercicios.
Continuidad y derivabilidad
de funciones de una variable.
Concepto de entorno de un número real. Límites de funciones de una
variable. Continuidad. Comportamiento de la continuidad respecto a la
aritmética de funciones. Concepto de derivada. Derivabilidad
y continuidad. Comportamiento de la derivabilidad
respecto a la aritmética de funciones. Regla de la cadena. Derivada de la
función inversa. Derivadas de orden superior. Diferenciabilidad
en un punto. Diferencial. Regla de l'Hôpital.
Ejercicios.
Aplicaciones de la derivación. Desarrollos en serie de Taylor. Extremos de
funciones: extremos relativos libres, condiciones necesarias de extremos
libres, condiciones suficientes de extremos libres, extremos relativos
condicionados. Estudio local de gráficas de funciones: monotonía,
concavidad y convexidad; extremos; posición de una curva respecto a su
tangente; asíntotas. Ejercicios.
Integración de funciones de una variable. Concepto de integral de Riemann. Funciones
integrables. Propiedades de la integral de Riemann. Teorema fundamental
del cálculo. Regla de Barrow. Integración por partes. Cambio de variables.
Primitivas e integración indefinida. Ejercicios.
Álgebra Lineal
Sistema de ecuaciones lineales: El método de
Gauss. Sistemas de ecuaciones
lineales. Eliminación gaussiana. Sistemas de
ecuaciones lineales homogéneos. Rango de un conjunto de vectores. Matrices
y operaciones entre matrices. Rango de una matriz. Teorema de Rouché. Reglas de la aritmética matricial. Matrices elementales,
cálculo de la inversa de una matriz mediante operaciones elementales. El
método de Gauss-Jordan. Ejercicios.
Determinantes. La función determinante. Cálculo de determinantes mediante
operaciones en las filas. Propiedades de la función determinante.
Desarrollo por los elementos de una línea. Ejercicios.
Espacios vectoriales. Definición de espacio vectorial. Subespacios vectoriales. Dependencia e independencia
lineal. Base y dimensión de un espacio vectorial. Espacios de dimensión
finita. Coordenadas. Cambio de base. Ejercicios.
Aplicaciones lineales. Definición de aplicación lineal. Matrices
asociadas a una aplicación lineal. Núcleo, imagen y rango. Isomorfismos y
cambios de base. Ejercicios.
Espacios euclídeos. Producto escalar. Espacio euclídeo. Ortogonalidad y ortonormalidad.
Método de Gram-Schmidt. Ejercicios.
Diagonalización de endomorfismos. Endomorfismos y cambios de base. Autovalores y autovectores. Diagonalización.
Propiedades y aplicaciones. Ejercicios.
Geometría tridimensional. Variedades afines. El espacio geométrico
tridimensional. Ecuaciones de rectas y planos. Posición relativa de rectas
y planos. Distancias y ángulos en E3. Ejercicios.
Funciones de
varias variables reales
Continuidad y derivabilidad
de funciones de varias variables.
Límite de una función de varias variables. Continuidad. Diferencial.
Derivadas parciales y direccionales. Diferenciabilidad.
Teorema del valor medio. Derivación de funciones compuestas: regla de la
cadena. Desarrollo de funciones de varias variables en la dirección de un
vector. Extremos relativos libres. Composición de funciones: regla de la
cadena. Curvas de nivel de funciones de dos variables. El teorema de la
función implícita. Ejercicios.
Integración de funciones de varias variables. Integral doble. Integral triple. Propiedades de
la integración múltiple. Teoremas de Fubini.
Cambio de variable. Cálculo de áreas. Cálculo de volúmenes. Aplicaciones.
Ejercicios.
Cálculo vectorial. Campos vectoriales. Divergencia y rotacional de
un campo vectorial. Integral curvilínea. Circulación de un vector. Área de
una superficie. Integrales de superficie. Flujo de un vector. Teoremas
integrales del análisis vectorial.
Introducción a
las ecuaciones diferenciales ordinarias
Introducción a las ecuaciones diferenciales
ordinarias. Concepto de
ecuación diferencial. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definición y
conceptos generales. Problemas de Cauchy y problemas de contorno.
Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden: a) del tipo y'
= f(x), b) de variables separadas, c) homogéneas,
d) exactas, e) factores integrantes, f) lineales,
g) reducibles a lineales. Resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias lineales de orden superior. Aplicaciones a la ingeniería
química: modelos de cinética química. Ejercicios.
Bibliografía
Bibliografía
recomendada
Anton, H.Introducción al álgebra lineal. Limusa (1997).
Anton, H.Calculus (5ª edición). John Wiley (1995).
Burgos, J.Álgebra lineal. McGraw-Hill (1993).
Burgos, J.Cálculo infinitesimal de una variable. McGraw-Hill (1994).
Burgos, J.Cálculo infinitesimal de varias variables. McGraw-Hill
(1995).
Campbell, S.L.; Haberman, R.Introducción a las ecuaciones diferenciales
con problemas de valores en la frontera. McGraw-Hill (1998)
De la Villa, A.Problemas de álgebra. CLAGSA (1994).
Demidovich, B.P.5000
problemas de Análisis Matemático. Paraninfo (1989).
Fontelos, M.A.; Kindelán, U.Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería.
Hernández, E.Álgebra y geometría.Addison-Wesley/U.A.M.
(1994).
Larson, R.;
Hostetler, B.; Edwards, H.Cálculo,
vol. II. McGraw-Hill (2005).
Lay, D.C.Álgebra
Lineal y sus aplicaciones.
Lelong-Ferrand, J.Ejercicios resueltos de análisis.Reverté
(1986).
Michavila, F; Conde, C.Métodos de aproximación. Dpto. de Matemática Aplicada y Mét. Inf., Universidad Politécnica de Madrid (1988).
Nevot, A.; Poncela, J.M.; Soler, J.Apuntes y problemas de matemática superior. Taurus
Universitaria (1994).
Zill, D.G.Ecuaciones
diferenciales con aplicaciones al modelado. International Thomson
(1997).
Evaluación
Durante el curso 2010-11, la asignatura se evaluará mediante la realización de un único examen final en cada una de las convocatorias oficiales de Abril-Mayo y Junio. La nota mínima para superar la asignatura será de 5 puntos sobre 10.